第二章 轴向拉伸和压缩

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1、轴向拉伸和压缩,第二章,2-2 拉(压)杆的内力,2-4 斜截面上的应力,2-3 横截面上的正应力,2-5 拉(压)杆的变形和位移,2-8 强度计算,2-6 材料在拉压时的力学性能,2-7 应力集中,目 录,2-1 概述,2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例,轴向拉压的受力特点,作用于杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合。,轴向拉压的变形特点,杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。,拉绳,课堂练习：图示各杆BC段为轴向拉伸（压缩）的是（ ）,2-2 拉(压)杆的内力,内力：指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分 布内力系的合力。（附加内力）,研究内力方法：截面法,1. 内力的概念,FN 称

2、为轴力,2. 轴力和轴力图,取左：,取右：,得,得,轴力正负号规定：,上述求解拉（压）杆轴力的方法称为截面法，其基本步骤是：, 截开：在需求内力的截面处，假想地用该截面将杆件一分为二。,代替：任取一部分，另一部分对其作用以内力代替。(假设为正）,平衡：建立该部分平衡方程，解出内力。,轴力图：为了清楚地看到轴力沿杆长的变化规律，可以用图线的方式表示轴力的大小与横截面位置的关系。这样的图线称为轴力图。,x轴表示横截面位置，FN轴表示对应该位置的轴力大小。,例 2-1 （书例2-1） 一等直杆受四个轴向外力作用，如图所示。试作轴力图,几点说明： （1）荷载将杆件分成几段，就取几个截面来研究,（2）轴

3、力大小与截面面积无关,（3）集中力作用处轴力图发生突变，突变值等于该集中力,解：1-1截面,2-2截面,3-3截面,例 2-2 试作轴力图,例2- 3 （书例2-2） 一受力如图所示的阶梯形杆件，q为沿轴线均匀分布的荷载。试作轴力图。,解：首先求出A端反力FR,由截面法可得AB、CD段轴力：,课堂练习：,1. 若将图（a）中的F力由D截面移到C截面（图b），则有（ ）,2. 横截面面积为A，长度为l，材料比重为 的立柱受力如图所示。若考虑材料的自重，则立柱的轴力图是（ ）。,l,l/2,l/2,3. 作图示杆的轴力图,解：设坐标原点在自由端，x 轴向右为正。取左侧x段为研究对象，内力FN(x)

4、为：,思考题.图示杆长为l，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出杆的轴力图。,l,q(x),单凭轴力的大小还不足以判断杆件的受力程度，例如：两根材料相同但粗细不同的杆，在相同的拉力下，随着拉力的增加，则细杆一定先强度不足而破坏。,1. 应力的概念,2.3 横截面上的正应力,从工程实用的角度，把单位面积上内力的大小，作为衡量受力程度的尺度，并称为应力。,这说明拉压杆的强度除了与轴力的大小有关外，还与横截面的尺寸有关。,应力的一般性定义 (书26页）,应力分量,应力：分布内力在一点处的集度,与强度密切相关,应力单位：,2. 横截面上的正应力,为了确定拉（压）杆横截面上的应力，必须首先了解

5、分布内力在横截面上的变化规律。这通常是根据实验观察到的拉（压）杆变形时的表面现象，对杆件内部的变形规律做出假设，再利用变形与分布内力间的物理关系，便可得到分布内力在横截面上的分布规律。,平面假设：杆件变形后，原为平面的横截面仍然保持为平面，且仍垂直于轴线。,根据平面假设，相邻两个横截面间的所有纵向纤维的伸长是相同的。再根据材料是均匀连续的假设，可以得出横截面上的分布内力是均匀分布的。,结论：正应力为常量,根据静力学求合力的概念,得,（2-1）,适用条件：（1）轴力过形心，即必须是轴向拉伸（压缩）,（2）符合平面假设,Saint-Venant原理：,当杆端以均匀分布的方式加力时，（2-1）式对任

6、何横截面都是适用的。,当采用集中力或其他非均布的加载方式时，在加力点附近区域的应力分布比较复杂，（2-1）式不再适用，然而影响的长度不超过杆的横向尺寸。,例 2-4 （书例2-3） 设例2-1中的等直杆为实心圆截面，直径d=20mm。试求此杆的最大工作应力。,FN，max=35kN （BC段）,危险截面：在研究拉（压）杆的强度问题时，通常把最大工作正应力所在的横截面称为危险截面。,例2-5（书例2-4） 一阶梯形立柱受力如图所示，F1120kN，F260kN。柱的上、中、下三段的横截面面积分别是A12104mm2, A22.4104mm2, A34104mm2。试求立柱的最大工作正应力。（不计

7、立柱的自重）,解：首先作出立柱的轴力图，如右图所示,由于立柱是变截面，必须求出各段的工作应力，经过比较才能确定最大正应力。,（压应力）,结果表明，最大工作应力为10MPa的压应力（中段）,例2-5 （书例2-4）一阶梯形立柱受力如图所示，F1120kN，F260kN。柱的上、中、下三段的横截面面积分别是A12104mm2, A22.4104mm2, A34104mm2。试求立柱的最大工作正应力。（不计立柱的自重）,（压应力）,（压应力）,课堂练习： 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =42kN/m，屋架中的钢拉杆为NO.22a型工字钢，试求钢拉杆横截面的正应力。（不计钢

8、拉杆的自重）,求应力, 局部平衡求轴力,查书附录的型钢表：NO.22a工字钢,A42cm2,2-4 斜截面上的应力,规定：从横截面按逆时针转到斜截面的a角为正，反之为负。,由平衡方程：FaF,则：,Aa：斜截面面积,p 为斜截面上任一点的总（全）应力,仿照横截面上正应力为均匀分布的推理过程，可得到 斜截面上的应力也是均匀分布的，用p表示,为横截面上的正应力,斜截面上总应力：,将p 沿着斜截面的法线和切线分解：,切应力符号规定如下：它绕截面内侧某点有顺时针转动趋势者为正；反之为负。,正应力:,切应力:,（2-2）,2.5 拉(压)的变形和位移,一、轴向变形,轴向伸长：,引入比例常数E，并注意到F

9、N=F，得到,实验表明，当拉杆横截面上的正应力不超过材料的比例极限时，不仅变形是弹性的，而且伸长量l与拉力F和杆长l成正比，即,（2-3）,E称为弹性模量，表示材料在拉压时抵抗弹性变形的能力，因而它是材料的一种力学性能，单位为Pa，工程中常用GPa。1GPa109Pa。其值与材料有关，由实验测定。例如Q235钢：E=200210GPa。EA称为杆件的拉伸（压缩）刚度。,(胡克定律的另一表达式),纵向线应变：,上式通常称为单向应力状态下的胡克定律。,胡克定律成立条件：正应力不超过材料的比例极限,无量纲,(2-4),二、横向变形、泊松比,横向线应变：,横向尺寸缩短量：,故 与 符号相反,实验表明,

10、在材料正应力没有超过比例极限时，横向线应变与纵向线应变之比为常数，用绝对值表示为,或写成,称为横向变形因数或泊松比,例2- 6 （书例2-5）,已知： AB段:A1 400mm2BC段:A2 =250mm2 ,E=210GPa,求：(1)AB、BC段的伸长量及杆的总伸长量；(2)C截面相对B截面的位移和C截面的绝对位移。,（1） 变形：物体受力以后发生尺寸和形状的改变。,解：,杆的总伸长量,（伸长）,（伸长）,（伸长）,显然，两个截面的相对位移，在数值上等于两个截面之间的那段杆件的伸长（或缩短）。,因此，C截面与B 截面的相对位移是,因A截面固定，所以C截面的位移就等于AC杆的伸长,例2- 6

11、 （书例2-5）,已知： AB段:A1 400mm2BC段:A2 =250mm2 ,E=210GPa,求：(1)AB、BC段的伸长量及杆的总伸长量；(2)C截面相对B截面的位移(相对位移）和C截面的绝对位移。,（2） 位移：指物体上的一些点、 线、面在空间位置上的改变。,解：,课堂练习,1. 已知： AAB =500mm2 ABC =200mm2 ,E=210GPa,求：杆的总变形量。,解：,（1）作轴力图,（2）计算变形,计算结果为负，说明整根杆发生了缩短,（缩短）,2. 求AB杆的伸长量lAB,所以：,普遍式（适合均匀、非均匀）,已知：AB杆为圆截面钢杆， d1 =30mm E1=200G

12、Pa，l1=1m ；BC为正方形木杆a=150mm ， E2=10GPa， F=30kN 。,求：B结点的位移。,解：,取节点B为研究对象,例2- 7 （书例2-6）,（1）受力分析并求1、2杆轴力,解得：,例2- 7 （书例2-6）,已知：AB杆为圆截面钢杆， d1 =30mm E1=200GPa，l1=1m ；BC为正方形木杆a=150mm ， E2=10GPa， F=30kN 。,求：B结点的位移。,（2）求1、2杆变形,（3）求B结点位移,作位移图,例2-8 （书例2-7） 三杆的横截面面积均为A1000mm2，弹性模量均为E200GPa ， l=1m ； AB为刚性杆。求A、B两点的

13、位移。,解：（1）受力分析：取AB为研究对象,（拉力）,（伸长）,（2）变形计算,B,A,l,1,2,3,A2,B1,（3）求A、B点位移,课堂练习,3. 已知AB杆为刚性杆，P1=5kN，P2=10kN，l=1mm。CD杆的E=72GPa，A=440mm2，求A截面铅垂位移。,解（1）取AB杆，求CD杆的轴力,（压）,（2）计算CD杆的缩短量,（缩短）,（3）作位移图,几何关系：,2.6 材料在拉伸、压缩时的力学性能,杆件在外力作用下是否会破坏，除计算工作应力外，还需知道所用材料的强度，才能作出判断；前面提到的E、p等都是材料受力时在强度和变形方面所表现出来的性能，均属于材料的力学性能。,材

14、料的力学性能取决于材料的内部条件和外部条件。内部条件指的是材料组成的化学成分、组织结构等。外部条件则包括构件的受力状态、环境温度、周围介质和加载方式。材料不同，环境不同，材料的力学性能也就不同。材料的力学性能必须用实验的方法测定。,本节主要介绍：低碳钢和铸铁在室温(20。C)、静载下，通过轴向拉伸和压缩得到的力学性能。（材料最基本的力学性能）,一、低碳钢材料拉伸时的力学性能,碳钢的分类,低碳钢：含碳量0.25%的碳素钢 中碳钢: 含碳量 0.250.55%的碳素钢 高碳钢: 含碳量 0.552.0%的碳素钢,实验条件：,室温(20左右)、静载(载荷从零开始缓慢增加到力F),标准试件,万能试验机

15、,电子试验机,试验设备,(1)弹性阶段Ob,整个拉伸过程分为四个阶段：,拉伸图,应力应变曲线,O a 段为直线，应力与应变成正比,(Oa直线的斜率),(2)屈服阶段bc,(3)强化阶段cd,是低碳钢的重要强度指标,是低碳钢的重要强度指标,(4)颈缩阶段de,伸长率：,断面收缩率：,是低碳钢的塑性指标,卸载后，重新加载，加载路线基本沿卸载路线，这样，材料的比例极限有所提高，但塑性降低。这种现象叫做冷作硬化,二、其它材料拉伸时的力学性能,灰口铸铁拉伸时的特点：,1.应力-应变曲线是一微弯的线段，无屈服和颈缩现象。,2.变形很小时，试件就断了，伸长率很小，是典型的脆性材料。只有一个强度指标 。沿横截面拉断，断口平齐。,三、材料在压缩时的力学性能,2. 低碳钢压缩时的E、ss与拉伸时基本相同。,3. 屈服以后，试件逐渐被压成鼓状，其横截面面积不断增大。,4.由于试件压缩时不会发生断裂，因此无法测定其强度极限。故像低碳钢一类塑性材料的力学性能通常由拉伸实验测定。,1. 低碳钢压缩试样采用圆柱体，且h=d。,低碳钢压缩实验,铸铁压缩实验,2. 应力-应变曲线直线段很短，近似符合胡克定律。,3.压缩时强度极限比拉伸时强度极限大得多，即b,c=(3.55) b,t,