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1、本章题头,第四章,刚体 (rigid body),形变可以忽略的质点系,各质元相对位置固定的质点系,一种理想化模型,刚体力学,平动,运动学,动力学,定轴转动动力学,定轴转动定律,功能关系,定点转动动力学,进动 陀螺仪, 刚体力学 引言,定轴转动,定点转动,1、刚体运动的几种形式,【平动】刚体内任意两点连线的空间指向在运动的过程中始终保持不变。, 刚体力学 刚体的运动,刚体内各质元的运动状态完全相同，所以可以用刚体内任一质元代表整个刚体的运动，通常代表点选作质心。,【转动】刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.,转轴上仅有一点固定定点转动,刚体在转动过程中，转轴始终保持固定。定轴转动,刚体的一般
2、运动,基点的平动,+,绕过基点轴的转动,刚体的一般运动,基点的平动,+,绕过基点轴的转动, 刚体力学 刚体的运动,转动平面,x,转动中心, 刚体力学 刚体的运动,（1）、各质元都在与转轴垂直的平面内作圆周运动，圆周运动的平面称为转动平面。,特点：,（2）定轴转动时，各质元的线量一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。,p,转动平面,x,刚体定轴转动的运动方程,转动中心, 刚体力学 刚体的运动,转动平面,x,5、角量与线量的关系, 刚体力学 刚体的运动,6、在刚体作匀变速转动时，相应公式:, 刚体力学 刚体的运动,转动平面,x,转动中心,例1: 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子
3、可绕垂直其横截面通过中心的轴转动。 开始时其角速度为零，经300s 后，其转速达到 18000r/min。已知转子的角加速度与时间成正比。 问在这段时间内，转子转过多少转？, 刚体力学 刚体的运动,大小：,方向：,动量臂,沿z轴方向,大小：,方向,逆时针转动，,沿z轴正向,特例：圆周运动质点对圆心O的角动量,顺时针转动，,沿z轴负向, 刚体力学 刚体的角动量与转动惯量,大小：,方向：沿转轴方向,质元对o点的角动量沿Z轴的投影,质元对o点的角动量,刚体对转轴的角动量,刚体相对转轴上任意一点的角动量沿转轴的分量,刚体对转轴的转动惯量,结论：定轴转动的刚体相对转轴的角动量等于刚体转动的角速度和刚体相
4、对转轴的转动惯量的乘积,刚体对转轴的角动量,质点对转轴的转动惯量：,例2：圆锥摆,例1：单摆, 刚体力学 刚体的角动量与转动惯量,分立质点系对转轴的转动惯量：,对同一轴具有可加性,例3：求下图所示刚性系统对轴,的转动惯量, 刚体力学 刚体的角动量与转动惯量,质量连续分布刚体对转轴的转动惯量：, 刚体力学 刚体的角动量与转动惯量,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,例4：分别求匀直细杆对质心轴、端垂轴的转动惯量,设单位长度的质量（质量的线密度）为,形状、大小相同的刚体，密度越大，转动惯量越大；, 刚体力学 刚体的角动量与转动惯量,同一刚体转动惯量大小取决于转轴方向与位置。,推广：平行轴定理
5、, 刚体力学 刚体的角动量与转动惯量,O,例5 求质量为m、半径为R的匀质细圆环的转动惯量。,O,思考：,dm,（轴与圆环平面垂直并通过圆心）,2、等质量、等半径的匀质薄圆盘？,R,1、等质量的匀质薄圆筒？,同匀质细圆环！,(同匀质圆柱), 刚体力学 刚体的角动量与转动惯量,总质量相同，质量分布离轴越远，,转动惯量越大；,注意：物理中的数学处理！, 刚体力学 刚体的角动量与转动惯量,小结：,由定义式求刚体转动惯量： 1）选取一个恰当的质元dm； 2）写出其转动惯量dI； 3) 统一积分变量，求出积分:, 刚体力学 刚体的角动量与转动惯量,概括为三点： 1. 形状大小相同的刚体，密度越大，转动惯
6、量越大； 总质量相同，质量分布离轴越远，转动惯量越大； 同一刚体转动惯量大小取决于转轴位置。,与转动惯量有关的因素： 刚体的质量 质量相对转轴的分布, 刚体力学 刚体的角动量与转动惯量,例7：组合体的转动惯量：,1. 匀质刚体+匀质刚体,2 .匀质刚体+规则“空缺”,圆柱体,思路：挖补法,组合体对某定轴的I，等于各刚体对同一转轴I之和。转动惯量具有可叠加性。, 刚体力学 刚体的角动量与转动惯量,思路：挖补法, 刚体力学 刚体的角动量与转动惯量,第四节,外力对转轴的力矩,外力相对转轴上某一点的力矩沿转轴方向的分量,外力Fi对O点的力矩,沿Z轴方向的投影为零,沿Z轴方向的投影为零,z,mi,方向：
7、沿转轴方向,外力对转轴的力矩,z,mi,i,方向：沿转轴方向,大小：,外力相对转轴的合力矩,质点系角动量定理,质点系,定轴转动,定轴转动角动量定理,质点系角动量,一般研究思路：,定轴,转动,（适用于任意质点系的定轴转动）,刚体 I 恒定,比较与说明：,质点运动的动力学方程,刚体定轴转动的动力学方程,a,F 一定，m,m是质点平动惯性的量度,Mz 一定，I,I是刚体转动惯性的量度,一维：,定轴：, 刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理,刚体定轴转动定理,刚体定轴转动定理的应用,一般解题思路：,1、选取研究对象。,通常采用“隔离体”法。,2、分析隔离体的受力情况，找出各力的力矩。,3、列方程求解。,
8、对质点：写出牛顿定律分量式；,对定轴转动刚体：应用转动定理；,列出必要的辅助（关联）方程。,4、必要时对结果进行讨论。, 刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理,例、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂,绳与滑轮无相对滑动。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。,mg,例2、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,重力对整个棒的合力矩和全部重力集中于质心所产生的力矩一样,说明：,定律的适用对象:,
9、一般质点系,包括：质点、刚体组；,非刚体等。, 刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理,对于一个质点系，如果它受的对于某一定轴的合外力矩为零，则它对于 这一固定轴的角动量保持不变。,对定轴的角动量守恒定律,讨论：,定轴转动中角动量守恒的几种常见情况,1、对定轴转动的刚体,（I 恒定）,恒矢量,被中香炉,陀螺仪, 刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理,2、对定轴转动的非刚体,（I 可以变化）,花样滑冰中的应用,张臂,收臂, 刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理,视频一, 刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理,3、对共轴物体系：,全静,人台反转,初态,末态,人沿某方向拨轮, 刚体力学 刚体定轴转动的角动量定
10、理, 刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理,例1、质量分别为M1、M2,半径分别为R1 、R2的两均匀圆柱,可分别绕它们本身的轴转动,二轴平行。原来它们沿同一转向，分别以10，20的角速度匀速转动,然后平移二轴使它们的边缘相接触,如图所示.求最后在接触处无相对滑动时,每个圆柱的角速度1，2。,二圆柱系统角动量守恒故有,对上述问题有以下的解法:在接触处无相对滑动时,二圆柱边缘的线速度一样,故有,由以上二式就可解出1，2。这种解法对吗?,正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，由于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反,力矩和冲量矩的大小正比于半径,方向相同:,由此可解得:,例2、如图所示,一质量为m的
11、子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l,质量为M.,碰撞过程中角动量守恒,请问:子弹和棒的总动量守恒吗? 为什么?,与,若物体系对同一转轴的合外力矩, 刚体力学 刚体定轴转动的角动量定理,第四节,如何计算刚体定轴转动的动能？,质点系动能定理,刚体,定轴转动,刚体定轴转动的动能定理,对定轴转动的刚体：,刚体内：, 刚体力学 刚体定轴转动的功能原理,称为力矩的功。,力矩作功是力作功的角量表达式,刚体上所有质元的动能之和为：,拓展:,定轴转动中的克尼希定理,刚体上所有质元的动能之和为：,上式即为：,例1 已知,求停止转动时所转过的圈数,
12、如何计算岩石重力势能？,一个质元：,整个刚体：,一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。,刚体的机械能,质心的高度：,重力势能：,例、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。,解：据机械能守恒定律：,例2 质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v 和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。,试求：1. 碰撞后系统的角速度；2. 碰撞后杆子能上摆的最大角度。,碰撞过程角动
13、量守恒,上摆过程机械能守恒,例3：如图示，已知匀质园盘质量为M，半径为R，可绕垂直于盘面的光滑轴转动。质量为m=M/2的泥球下落h高度，砸在圆盘的p点， 已知q60 。,求：（1）碰撞后瞬间盘的角速度0 （2）P转到x轴时的角速度和角加速度？,碰撞t 极小，对 m 、M系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，碰撞过程中角动量守恒：,碰撞前瞬间系统对转轴的角动量：,碰撞后瞬间系统对转轴的角动量：,（2对m 、M、地球系统，只有重力做功， E守恒，令p、x重合时EP=0,第四节,z,O,（倒下）,z,O,陀螺,（不倒下）,思考：为什么高速自转的陀螺不会倒下？,自转轴,进动轴,高速自旋的物体的轴
14、在空间转动的现象叫进动。,z,O,进动,【回转效应】高速自转的陀螺在外力矩的作用下，,产生进动的效应。,1、为什么发生进动？,进动,2、进动角速度？,O,说明:,章动,(4) 进动方向决定于外力矩,和自转角速度的方向。,O,改变方向，情况如何？,r,进动角速度,3、陀螺为什么不倒下？,陀螺参考系中,惯性离心力：,重力：,科里奥利力：,O,A、B两点处的 提供的 合力矩使陀螺不致倾倒。,足够大，陀螺就不倾倒，,甚至能够使倾角变小。,高速自转的陀螺具有极大的反抗外力矩的作用，,力图保持其转轴在空间的方向不变。,枪、炮膛中的来复线出射弹保持弹头朝前。,应用：,进动,拓展：,农历闰月的由来,进动,公转一周,自转轴指向基本不变,春夏秋冬：太阳年,自转轴发生进动,（周期为25800年）,岁差： 20分33秒,（祖冲之据此引入农历闰月）,
