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1、1.在不等式x2+33x; 2;a2+ab+b20中恒成立的不等式有（ ） A. B. C. D.,D,因为 故不等式恒成立;当a=1,b=1时, =2,故不等式不恒成立;由a2+ab+b2= 知不等式恒成立.易错点：因忽视均值不等式成立的前提条件而产生错误.,2.设a0，b0，则下列不等式中不一定成立的是（ ） A. 2 B.ln(ab+1)0 C.a2+b2+22a+2b D.a3+b32ab2选项A由基本不等式易知正确；选项B由对数函数性质易知正确； 选项C由基本不等式得：a2+1+b2+12a+2b，命题成立.选项D通过排除易知命题错误.,D,3.如果四棱锥的四条侧棱长都相等,就称它为
2、“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下四个命题中,假命题是（ ） A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上易错点：由于对几何模型不熟悉而产生错误.,B,4.在用反证法证明“存在实数x,使得x2+x+1 0”时,其假设是 .,对所有的实数x,x2+x+10,5.已知点An(n,an)为函数y= 的图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中nN*,设cn=anbn,则cn与cn+1的大小关系为 .因为cn随着n的增大而减小,所以cncn+1.易错点：不能正
3、确判断数列cn的单调性而产生错误.,cncn+1,1.直接证明 (1)综合法 定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.综合法是一种由因导果的证明方法. 证明步骤用符号表示为:P0(已知)P1P2Pn(结论).,(2)分析法 从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件或定理、定义、公理等)为止的证明方法. 证明步骤用符号表示为:B(结论)B1B2BnA(已知).,2.间接证明 反证法:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出假设与已知矛盾或与某个真命题矛盾,因
4、此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.,重点突破：综合法的应用 设a、b、c三数成等比数列,而x、y分 别为a、b和b、c的等差中项,试证: 运用综合法进行证明有关问题时,常常先把已知条件“翻译”成一些字母或数字关系式,再找它们与所要求证命题之间的关系,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的结论.,依题意,a、b、c三数成等比数列,即由比例性质有: 又由题设:所以原题得证.巧妙利用比例的性质是解决本例的关键.,已知a、b、c都是实数， 求证：a2+b2+c2 (a+b+c)2ab+bc+ca.因为a、bR，所以a2+b22ab； c、bR，所以c2+b22cb； a
5、、cR，所以a2+c22ac； 将以上三个不等式相加得 2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca)， 即a2+b2+c2ab+bc+ca. ,在的两边同时加上a2+b2+c2, 得3(a2+b2+c2)(a+b+c)2, 即a2+b2+c2 (a+b+c)2 在不等式的两边同时加上2(ab+bc+ca),得: (a+b+c)23(ab+bc+ca), 即 (a+b+c)2ab+bc+ca 由得a2+b2+c2 (a+b+c)2ab+bc+ca.,重点突破：分析法的应用 设a0,b0,2ca+b. 求证:不等式的结构复杂,由题设不易“切入”展开推理,所以尝试运用分析法,找所要求证问题的等价命题
6、.,要证 只要证 即证 也就是证(ac)20,也就是证a+b2c.显然成立. 故用分析法证明问题时,一定要恰当运用“要证”、“只要证”、“即证”、“也即证”等用语.,已知函数f(x)=tanx,x(0, ),若x1,x2(0, ),且x1x2,求证: f(x1)+f(x2) 要证 f(x1)+f(x2) 即证明 只需证明,只需证明,由于x1,x2(0, ),故x1+x2(0,)，所以cosx1cosx20,sin(x1+x2)0,1+cos(x1+ x2)0.故只需证明1+cos(x1+x2)2cosx1cosx2，即证1+cosx1cosx2sinx1sinx22cosx1cosx2.即证c
7、os(x1x2)1，因为x1,x2(0, ),且x1x2,所以上式成立.所以,重点突破：反证法的应用 已知a0，b0，且a+b2，求证: 中至少有一个小于2. 已知条件较少,结论反而有三种情况,故联想到从结论的反面入手较为容易,所以考虑使用反证法.,假设 都不小于2, 则 因为a0,b0,所以1+b2a,1+a2b. 所以1+1+a+b2(a+b),即2a+b. 这与已知a+b2矛盾,故假设不成立.即 中至少有一个小于2.结论中若有“都是”、“都不是”、“至多”、“至少”等字眼，或直接从正面证明较为困难的问题，一般可以考虑使用反证法.,在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c
8、三边的倒数成等差数列，求证：Ba,bc. 所以 相加得 与矛盾,所以B90不成立.所以B90.,已知a0, 求证: 由已知a0, ,可知b0, 要证 需证 即证1+abab1,只需证明 ,即而这正是已知的.,因为a0, 所以1b0, 又 所以abab0,则1+abab1,即(1+a)(1b)1. 由a0,1b0,故 即,对于复杂的不等式,直接运用综合法往往不易入手,因此,通常用分析法探索证题途径.然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.分析法的特点可描述为“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”;分析法的优点是利于思考,因为它方向明确,思路自然,易于掌握,
9、而综合法的优点是易于表述,条理清楚,形式简洁.,1.关于综合法与分析法 分析法的特点:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是寻找它的充分条件. 综合法的特点:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件.,分析法与综合法是两种思路截然相反的证明方法,既对立又统一.用综合法证题前往往可用分析法寻找解题思路,即所谓的分析.因此分析法既可用于寻找解题思路,也可以是完整的证明过程.在解决较为复杂的问题时,往往是两种方法相互结合使用.,2.关于反证法 使用反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,也可以是与假设矛盾,或与定义
10、、公理、定理、公式、事实矛盾. 反证法的步骤：(1)反设；(2)推出矛盾;(3)下结论.,1.(2009四川卷)设V是已知平面M上所有向量的集合.对于映射f：VV,aV,记a的象为f(a).若映射f：VV满足：对所有a、bV及任意实数、都有f(a+b)=f(a)+f(b),则f称为平面M上的线性变换.现有下列命题：,设f是平面M上的线性变换,a、bV,则f(a+b)=f(a)+f(b); 若e是平面M上的单位向量,对aV,设f(a)=a+e,则f是平面M上的线性变换; 对aV,设f(a)=a,则f是平面M上的线性变换; 设f是平面M上的线性变换,aV,则对任意实数k,均有f(ka)=kf(a)
11、. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号),因为f是平面M上的线性变换,所以取=1,即得f(a+b)=f(a)+f(b),故正确;任取a、bM,、R,则f(a+b)=a+b+e, f(a)+f(b)=(a+e)+(b+e)=a+b+(+)e.而(+)e不一定等于e,故错.同理利用定义不难验证正确.,本小题在高中数学的基础上,结合高等数学背景,综合集合、映射及平面向量等基础知识，给出一个新概念，考查学生阅读理解及推理论证能力，有利于考查学生进一步学习高等数学的能力及数学潜质.,2.(2009湖北卷)已知关于x的函数f(x)=+bx2+cx+bc其导函数为f (x).令g(x)=|f (x)|
12、,记函数g(x)在区间1，1上的最大值为M. ()如果函数f(x)在x1处有极值 ，试确定b、c的值； ()若b1,证明对任意的c,都有M2； ()若Mk对任意的b、c恒成立，试求k的最大值.,()因为f (x)=-x2+2bx+c，由f(x)在x=1处有极值- .f (1)=-1+2b+c=0f（1）=- +b+c+bc=- ，b=1c=-1 若b=1,c=-1，则f (x)=-x2+2x-1=-(x-1)20，此时f(x)没有极值； 若b=-1,c=3，则f (x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-,可得,解得,或,b=-1,c=3.,1).,当x变化时，f(x)，f (x)的变化情况
13、如下表：,所以当x=1时，f(x)有极大值- ，故b=-1，c=3即为所求.,()证法1：g(x)=|f (x)|=|-(x-b)2+b2+c|. 当|b|1时，函数y=f (x)的对称轴x=b位于区间-1,1之外. 所以f (x)在-1,1上的最值在两端点处取得. 故M应是g(-1)和g(1)中较大的一个. 所以2Mg(1)+g(-1)=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|4b|4即M2.,证法2(反证法)：因为|b|1，所以函数y=f (x)的对称轴x=b位于区间-1,1之外， 所以f (x)在-1,1上的最值在两端点处取得. 故M应是g(-1)和g(1)中较大的一个. 假设M2，则 g
14、(-1)=|-1-2b+c|2， g(1)=|-1+2b+c|2. 将上述两式相加得：4|-1-2b+c|+|-1+2b+c|4|b|4，导致矛盾，所以M2.,()g(x)=|f (x)|=|-(x-b)2+b2+c|. (1)当|b|1时，由()可知M2； (2)当|b|1时，函数y=f (x)的对称轴x=b位于区间-1,1内， 此时M=maxg(-1),g(1),g(b). 由f (1)-f (-1)=4b,有f (b)-f (1)=b(1)20.,若-1b0,则f (1)f (-1)f (b),所以g(-1)maxg(1),g(b)， 于是M=max|f (1)|,|f (b)| (|f (1)|+|f (b)|) |f (1)-f (b)|= (b-1)2 ； 若0 .,综上，对任意的b、c都有M . 而当b=0,c= 时，g(x)=|-x2+ |在区间-1,1上的最大值M= ， 故Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为 .本小题主要考查函数、函数的导数和不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想.,
