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1、概率论 与数理统计,讲授: 刘丁酉,武汉大学数学公共课程CAI,本课程与其他数学基础课的关系,微积分 （高等数学） 线性代数,序 言,一.确定性数学 初等数学、高等数学(微积分)、线性代数等,二.随机数学-以概率论为代表1.赌博 人口统计 出生率 性别等2.非确定性现象: 抛硬币 掷骰子 发大水等3.研究和揭示随机现象的统计规律性的科学 -概率论,三.理论联系实际最活跃的学科,1.应用性: 概率统计的理论一直在广泛地应用于工农业、军事、科技等领域2.渗透性: 与基础学科、工程学科结合可产生新的学科和研究方向。,例如：信息论、系统论、控制论、排队论、可靠性理论、可靠度分析、平差分析、统计物理、水
2、文统计、 数量经济等,四.概率论的内容构成,基础部分-概率论: 古典概率 随机变量及其分布分布函数 数字特征等 应用部分-数理统计: 统计量构造 参数估计假设检验 回归分析等 深入部分-随机过程: 马尔可夫过程 平稳过程随机分析等,本课程的内容在数学上属于概率论范畴，它由如下三个部分所组成,本课程只介绍基础部分和应用部分。,概 率 论,第一章 随机事件与概率 第二章 随机变量及其概率分布 第三章 多维随机向量及其概率分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 极限定理,第一章 随机事件和概率,随机试验 样本空间、随机事件 频率和概率 古典概型 几何概型 概率的公理化结构 条件概率 事件的独立性
3、贝努里概型,1.1 随机试验 一、随机试验(简称“试验”)的例子,随机试验可表为EE1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面;E2: 抛两枚硬币，考虑可能出现的结果；E3: 掷一颗骰子，考虑可能出现的点数i;E4: 掷两颗骰子，考虑可能出现的结果及点数之和；,二、随机试验的特征,E5: 记录电话交换台一分钟内接到的呼叫次数； E6: 对一目标进行射击，直到命中为止，考虑其结果; E7: 在一批灯泡中任取一只，测其寿命。,1.可在相同条件下重复进行;2.试验结果不止一个,但能确定所有的可能结果;3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。,1.2 样本空间、随机事件 一、样本空
4、间,1、样本空间：所有试验结果组成的集合称为样本 空间，记为=；2、样本点: 样本空间的元素称为样本点，样本点即 试验结果，记为.例如 对应E1的样本空间为=H，T；对应E2的样本空间为=(H,H), (H, T), (T, H), (T, T)；对应E5的样本空间为=0, 1, 2, ；,二、随机事件,1.定义 试验中可能出现或可能不出现的事情叫 “随机事件”, 简称“事件”.2.基本事件: 不可能再分解的事件, 即试验的结果， 常记为“”.3.两个特殊事件: 必然事件、不可能事件.任何事件均是某些样本点组成的集合.例 对于试验E2与E5 ，以下A 、 B即为两个随机事件:A“至少出一个正面
5、” (H,H), (H, T), (T, H)；B“至少m次少于n次”m, m+1, , n1。,三、事件之间的关系,1.包含关系:“ A发生必导致B发生”记为ABAB AB且BA. 2.和事件: AB 3.积事件: ABAB 4.差事件、对立事件(余事件)：AB称为A与B的差事件,5.互不相容性：AB A、B互为对立事件 AB , 且AB ,四、事件与集合对应关系类比,概率论 集合论样本空间 事件 子集事件A发生 A事件A不发生 A必然事件 不可能事件 事件A发生导致事件B发生 AB,概率论 集合论 事件A与B至少有一个发生 AB 事件A与B同时发生 AB(或AB) 事件A发生而B不发生 A
6、B 事件A与B互不相容 AB,五、事件的运算,1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：,1.3 频率与概率 一、频率,1.定义 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即fn(A) nA/n.,2.频率的性质 (1) 非负性： fn(A) 0； (2) 规范性： fn()1； (3) 可加性：若AB ，则fn(AB) fn(A) fn(B). 实践证明：当试验次数n增大时， fn(
7、A) 逐渐 趋向一个定值。,二. 概率,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： (1)非负性：对任一事件A，有P(A) 0； (2) 规范性： P()1； (3) 可列可加性：设A1，A2, , 是一列两两互不相容的事
8、件 ，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+ . (1.1) 则称P(A)为事件A的概率。,2.概率的性质 (1) 不可能事件概率零：P()0； (1.2) (2) 有限可加性：设A1，A2, ,An , 是n个两两互不相容的 事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An); (1.3) (3) 单调不减性：若事件BA，则P(B)P(A) , 且P(BA)P(B)P(A)； (1.4),(4) 互补性：P(A)1 P(A)，且P(A) 1 ; (1.5
9、) (5) 加法公式：对任意两事件A、B，有P(AB)P(A)P(B)P(AB) (1.6) 公式(1.6)可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形； (6) 可分性：对任意两事件A、B，有P(A)P(AB)P(AB ) . (1.7),一般的，有如下定义 定义 事件组A1，A2，An (n可为)，称为样 本空间的一个划分(或完备事件组)，若满足：,1.4 古典概型 一、古典概型的特征,1.有限性：样本空间1, 2 , , n ; 2.等可能性：P(i)1/n, (i1, 2, , n). 古典概型也称为等可能概型。,二、古典概型的计算公式,P(A),设事件A中包含k个样本点(基本事件),例
10、1、掷一颗骰子，求出6点的概率。 例2、做试验E：“将一枚硬币连抛2次” , 观测出正、反面的情形。(1) 写出E的样本空间；(2) 设A1“恰有一次出正面” ，求P(A1)；(3) 设A2“至少出一次正面” ，求P(A2).,例3、袋中有6只乒乓球，其中4白2红，现从中 取二次，每次取一只(分别考虑有放回和无放回 取球的情形)。求 (1) 全是白球的概率； (2) 两球色相同的概率； (3) 至少一只白球的概率。,三、古典概型的几类基本问题,1、抽球问题 设袋中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，问这n个球中恰有k个白球的概率是多少? 2、取数问题 设有17七位数字，从中任取三个不同
11、的数字组成一个三位数，求这三位数是偶数的概率。,3、分配问题 把n个球随机地 分配到m个盒子中去，问每盒中 至多有一球的概率是多少？ 4、配对问题 从五双不同的鞋 子中任意地取出四只，问其中至 少有两只成双的概率是多少?,例4、设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N个房 间中的任意一间去住(nN)，求下列事件的概率： (1)指定的n个房间每个房间各有一人; (2)恰好有n个房间，每个房间各有一人。例5、某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？,例6、(De Mere问题)一颗骰子掷4次至少得一个六点 与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪 一个有更
12、多的机会遇到？,1.5 几何概型 一、几何概型的特征,1.基本事件数无限：， 充满区域， 且可测 ； 2.等可能性：随机点落在某区域g的概率与区域 g的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其 位置及形状无关。,二、几何概型的计算公式,其中Ag表示“在区域中随机地取一点落在区域g中” 这一事件。,例2、(蒲丰(Buffon)投针问题)1777年法国 科学家蒲丰提出了下列著名问题：平面上画着一些平行线，它们 之间的距离都等于a，向此平面上任 投一长度为l(Ia)的针，试求此针与任一平行线相交的 概率。,a l,x ,例1、(会面问题)两人相约7点到8点在某 地会面，先到者等候另一人20分钟，过时可 离去，试求两人会面的概率。,可求得其概率,利用蒙特卡洛(Monte-Carlo)法可求得圆周率 的近似值。 (参见教材P.13),1.6 概率的公理化结构,公理1 事件域公理样本空间的部分子集所组成的集合F若满足以下三个条件: (F.1) F；(F.2) 若AF ，则 AA F；(F.3) 若有一列AiF, i1,2, , 则可列和 .,则称其为上的域(或代数)，也称其为上的事件域。二元体( ，F )称为可测空间。,由公理1可推得如下性质： (1) F; (2) 若A、BF，则AB F，AB F，AB F; (3) 若有一列AiF, i1, 2, ,则 .,
