第七章线性变换

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1、第七章 线性变换,7.1 线性映射 7.2线性变换的运算 7.3 线性变换和矩阵,7.4 不变子空间 7.5 特征值和特征向量 7.6 可以对角化矩阵,7.1 线性映射,一、内容分布7.1.1 线性映射的定义、例.7.1.2 线性变换的象与核. 二、 教学目的:1准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射） 2正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的联系，并能求给定线性变换的象与核 三、 重点难点: 判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射），求给定线性变换的象与核,7.1.1 线性映射的定义、例,设F是一个数域，V和W是F上向量空间.,定义1 设是V 到W

2、的一个映射. 如果下列条件被满足，就称是V 到W 的一个线性映射： 对于任意 对于任意 容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件： 对于任意 和任意,在中取 ，对进行数学归纳，可以得到： （1） （2）,例1 对于 的每一向量 定义是 到 的一个映射，我们证明，是一个线性映射.,例2 令H是 中经过原点的一个平面.对于 的每一向量，令 表示向量在平面H上的正射影.根据射影的性质， 是 到 的一个线性映射.,例4 令V 和W是数域F 上向量空间.对于V 的每一向量令W 的零向量0与它对应，容易看出这是V 到W的一个线性映射，叫做零映射.,例5 令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数k，对于任

3、意 定义 容易验证，是V 到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做V 的一个位似. 特别，取k = 1，那么对于每一 都有 这时就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映射，如果取k = 0，那么就是V 到V的零映射.,例7 对于Fx 的每一多项式 f（x），令它的导数 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是Fx到自身的一个线性映射.,例8 令Ca, b是定义在a, b上一切连续实函数所成的R上向量空间，对于每一 规定 仍是a, b上一个连续实函数，根据积分的基本性质，是Ca, b到自身的一个线性映射.,7.1.2 线性变换的象与核,定义2 设是向量空间V到W的一个线性映射, (1)

4、如果 那么 叫做 在之下的象. (2) 设 那么 叫做 在 之下的原象.,定理7.1.1 设V 和W 是数域F 上向量空间，而 是一个线性映射，那么V 的任意子空间在之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空间在之下的原象是V 的一个子空间.,特别，向量空间V 在之下的象是W 的一个子空间，叫做的象, 记为 即另外，W 的零子空间 0 在之下的原象是V 的一个子空间，叫做的核， 记为 即,定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线性映射，那么 (i) 是满射 (ii) 是单射 证明 论断(i)是显然的,我们只证论断(ii) 如果是单射,那么ker()只能是含有唯一的零向量.反过来设

5、ker() = 0.如果那么 从而所以 即是单射.,如果线性映射 有逆映射 ，那么是W 到V 的一个线性映射.,7.2 线性变换的运算,一、内容分布 7.2.1 加法和数乘 7.2.2线性变换的积 7.2. 3线性变换的多项式 二、 教学目的: 掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算. 掌握线性变换的多项式, 能够求出给定线性变换的多项式. 三、 重点难点: 会做运算.,7.2.1 加法和数乘,令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个线性映射叫做V 的一个线性变换. 我们用L（V）表示向量空间和一切线性变换所成的集合，设 定义:加法: 数乘: , 那么是V的一个线性变换. 可以证明: 和

6、 都是V 的一个线性变换.,所以 是V的一个线性变换,令 ，那么对于任意 和任意,所以k是V的一个线性变换.,线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对于任意 ,以下等式成立:,(1),(2),令表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然具有以下性质：对任意 有：,(3),设 的负变换指的是V到V的映射容易验证，也是V的线性变换，并且,（4）,线性变换的数乘满足下列算律：,这里k,l是F中任意数，,是V的任意线性变换.,定理7.2.1 L（V）对于加法和数乘来说作成数域F上一个向量空间.,7.2.2线性变换的积,设 容易证明合成映射 也是V上的线性变换，即 我们也把合成映射 叫做与的积，

7、并且简记作 。除上面的性质外，还有：,对于任意 成立。,证明 我们验证一下等式（9）其余等式可以类似地验证。设 我们有,因而（9）成立。,7.2.3 线性变换的多项式,线性变换的乘法满足结合律： 对于任意 都有,因此,我们可以合理地定义一个线性变换的n次幂,这里n是正整数。,我们再定义,这里表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。,这个线性变换叫做当 时f (x)的值，并且记作,（1）因为对于任意 我们也可将 简记作 ，这时可以写,（2）带入法：如果 并且,那么根据L(V )中运算所满足的性质,我们有,7.3 线性变换和矩阵,一、内容分布7.3.1

8、 线性变换的矩阵7.3.2 坐标变换7.3.3 矩阵唯一确定线性变换7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵相似矩阵 二、教学目的:1熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵，以及给定n 阶矩阵和基，求出关于这个基矩阵为的线性变换 2由向量关于给定基的坐标，求出()关于这个基的坐标3已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出关于另一个基的矩阵。 三、重点难点: 线性变换和矩阵之间的相互转换, 坐标变换, 相似矩阵。,7.3.1 线性变换的矩阵,现在设V是数域F上一个n维向量空间，令是V的一个线性变换，取定V的一个基 令,设,N 阶矩阵A 叫做线性变换关于基 的矩阵. 上面的表达常常写出更方便的形式:,(1

9、),7.3.2 坐标变换,设V是数域F上一个n 维向量空间, 是它的一个基, 关于这个基的坐标是 而()的坐标是 问: 和 之间有什么关系?,设,因为是线性变换，所以,（2）,将（1）代入（2）得,最后，等式表明， 的坐标所组成的列是,综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：,定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，是V的一个线性变换，而关于V的一个基 的矩阵是,如果V中向量关于这个基的坐标是 ，而()的坐标是 ，,那么,例1 在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量 作为 的基.令是将 的每一向量旋转角的一个旋转. 是 的一个线性变换.我们有,所以关于基 的矩阵是,设 ，它关于

10、基 的坐标是 ,而 的坐标是 .那么,7.3.3 矩阵唯一确定线性变换,引理7.3.2 设V是数域F上一个n 维向量空间， 是V的一个基，那么对于V 中任意 n个向量 ，有且仅有 V 的一个线性变换，使得:,我们证明，是V的一个线性变换。设,那么,于是,设 那么,这就证明了是V的一个线性变换。线性变换显然满足定理所要求的条件：,如果是V的一个线性变换，且,那么对于任意,从而 ,定理7.3.3 设V 是数域 F 上一个n 维向量空间，是V 的一个基，对于V 的每一个线性变换，令关于基 的矩阵A与它对应，这样就得到V 的全体线性变换所成的集合 L（V）到F上全体n 阶矩阵所成的集合 的一个双射，并

11、且如果 ,而 ， 则(3) (4),证 设线性变换关于基 的矩阵是A。那么 是 的一个映射。,是F上任意一个n阶矩阵。令,由引理7.3.2，存在唯一的 使,反过来，设,显然关于基 的矩阵就是A. 这就证明了如上建立的映射是 的双射.,设 我们有,由于是线性变换, 所以,因此,所以关于基 的矩阵就是AB。（7）式成立，至于（6）式成立，是显然的。,推论7.3.4 设数域F上n 维向量空间V 的一个线性变换关于V 的一个取定的基的矩阵是A，那么可逆必要且只要A可逆，并且 关于这个基的矩阵就是 .,我们需要对上面的定理7.3.1和定理7.3.3的深刻意义加以说明:,1. 取定n 维向量空间V的一个基之后, 在映射: 之下, (作为线性空间),研究一个抽象的线性变换, 就可以转化为研究一个具体的矩阵. 也就是说, 线性变换就是矩阵.以后,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵.,2. 我们知道, 数域F上一个n 维向量空间V 同构于 , V上的线性变换,转化为 上一个具体的变换:,