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1、1,第五章 平面向量,解斜三角形及其应用举例,第 讲,5,（第一课时）,2,3,4,1. 三角形的内角和等于180. 2.三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 3.三角形中大边对大角，小边对小角. 4.正弦定理 =_. 5.勾股定理c2=a2+b2(其中c为直角三角形的斜边).,2R(R为ABC的外接圆半径),5,6.余弦定理c2=_;cosC=_. 7.三角形的面积公式: (其中h是边a上的高). 8.由A+B+C=，易推出： (1)sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C)， tanA=-tan(B+C).,a2+b2-2abcosC,6,1.在ABC中，
2、AB是sinAsinB的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解法1：sinAsinB ,C,7,在ABC中， 所以sinAsinB 故选C. 解法2：在ABC中，sinAsinB .故选C.,8,在ABC中，角A、B、C所对的边长别为a、b、c.若C=120，c=a，则( )A. ab B. ab2，即ab，故选A.,10,3.ABC中,已知 ,且SABC = ，则 的值是( ) A. 2 B. C. -2 D. - 解：ABC中，已知 故选C.,C,11,1. (原创)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=1，
3、c= . (1)若C= ，则角A=_； (2)若A= ，则边b=_.,题型1 利用正弦定理解三角形,2或1,12,解: (1)由正弦定理 得 又ac，所以AC，所以A= . (2)同理由 得 得C= 或 . 当C= 时，B= ，可得b=2； 当C= 时，B= ，可得b=1. 故(1)中填 ；(2)中填2或1.,13,点评：已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意对解的情况进行讨论，讨论时一是根据所求的正弦值是否大于1，二是根据两边的大小关系确定解的情况.,14,(2010山东卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a= ，b=2 ，sinB+cosB= ，则角A的大小为_,15
4、,解：由已知sinB+cosB= ， 两边平方整理得1+sin2B=2，即sin2B=1， 又B为三角形的内角，故2B= ，即B= . 据正弦定理可得 = ，即 = ， 解得sinA= . 又由于ab，据大角对大边原则，即Ac)，求cosA的值. 解：(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及条件 可得:-2accosB=ac,即cosB=- ,所以B=120. (2)由b2=a2+c2+ac，得b2=(a+c)2-ac， 即19=25-ac，所以ac=6.,题型2 利用余弦定理解三角形,17,由 得 或由余弦定理得 点评：余弦定理的直接应用有两个方面: 一是已知三边(或三边的关系)可
5、用余弦 定理求角,二是已知两边及一角求第三边.,18,19,20,3. 在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边.已知a、b、c成等比数列，且a2-c2=ac-bc，求: (1)A的大小；(2) 的值. 解：(1)因为a，b，c成等比数列， 所以b2=ac，又a2-c2=ac-bc， 所以b2+c2-a2=bc. 在ABC中，由余弦定理得所以A=60.,题型3 解斜三角形,21,(2)解法1:在ABC中,由正弦定理得 因为b2=ac，A=60， 所以 解法2:在ABC中，由面积公式得因为b2=ac,A=60,所以bcsinA=b2sinB， 所以,22,点评：已知三个独立的条件(至少有一
6、个是边的条件)来解斜三角形，关键是正确选用正弦定理(或余弦定理)及对定理公式的应用.若涉及面积问题时，还需用到面积公式：,23,24,25,26,1. 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边角转换. 2. 用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形的内角或应用向量的模求三角形边长等.,27,3.在判断三角形形状或解斜三角形时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件. 4.用向量的数量积求三角形内角时，需通过向量的方向判断向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.,28,第五章 平面向量,解斜三角形及其应用举
7、例,第 讲,5,（第二课时）,29,题型4 判定三角形的形状,1. 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 (1)判断ABC的形状； (2)若c= ,求k的值.,30,解：(1)因为 又 所以bccosA=accosB, 所以sinBcosA=sinAcosB, 即sinAcosB-sinBcosA=0, 所以sin(A-B)=0. 因为-A-B, 所以A=B，所以ABC为等腰三角形.,31,(2)由(1)知a=b, 所以 因为c= ,所以k=1. 点评：本题应先将向量的关系式表示为三角形边角的关系式.在含边角关系式的恒等变形中，一是利用正弦定理将边的式子化为角的正弦式子，或利用余
8、弦定理将余弦式化为边的式子，这是判断三角形形状问题中的两个基本转化方向.,32,在ABC中，若B=60，且b2=ac， 判断ABC的形状. 解：因为b2=a2+c2-2accosB= a2+c2-ac， 又b2=ac，所以a2+c2-2ac=0，即(a-c)2=0， 即a=c，又B=60， 所以ABC是等边三角形.,33,2. 我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处.已知CD=6000 m，ACD=45,ADC=75，目标出现于地面点B处时，测得BCD=30,BDC=15,如图，求炮兵阵地到目标的距离.(结果保留根号),题型5 解斜三角形在实际问题中的应用,34,解：在ACD中
9、,CAD=180-ACD- ADC=60,ACD=45. 根据正弦定理有 同理,在BCD中, CBD=180-BCD-BDC=135， BCD=30. 根据正弦定理有 又在ABD 中,ADB=ADC+BDC=90.,35,根据勾股定理有所以炮兵阵地到目标的距离为 m. 点评：解决实际问题时，关键是把实际问题转化为我们熟悉的数学问题，即数学建模.若题目背景材料是有关距离和角度的问题，我们一般转化为解斜三角形问题.,36,37,38,39,1.正、余弦定理是应用十分广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生联系，为求三角形的有关量，如面积、外接圆或内切圆的半径等提供了理论基础，也是判定三角形的形状，证明三角形中有关等式的重要依据.,40,2.三角形中的恒等式或三角形的形状判断等问题，要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理.一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理.,
