实验三气垫摆实验

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1、实验三气垫摆实验实验三气垫摆实验转动惯量是描述刚体转动基本规律的一个物理量。它是物体在转动中惯性大小的 量度。正确测量物体的转动惯量特别是一些不规则或复杂形状物体的转动惯量在 科学研究和工程应用中具有实用意义。本实验采用气垫摆测量物体的转动惯量， 气垫摆卸除恢复力提供器就成为气浮平台，借助于气浮平台可测量物体转动时的 角速度、角加速度， 结合转动定律可测物体的转动惯量，研究物体的转动特性和 气浮平台转动时所受空气阻尼所遵从的基本规律等。气垫摆实验装置用气垫摆测物体的转动惯量（必做实验） 【实验目的】 了解用气垫摆测量转动惯量的原理。 学会气垫摆的调节和使用方法。 测量钢质圆环、圆柱的转动惯量。

2、 【实验仪器】 气垫摆 、微音气源、 气垫摆信号参数测量仪、电子天平、游标卡尺、测试样 品（一个圆环，两个小圆柱） 气垫摆由摆轮、 平卷簧、气垫装置、 被测物体定位设施和水平调节装置等部分组 成，见图 2。摆轮和平卷簧（图1）构成振动系统；气垫装置是一个开有许多小 出气孔的气室， 射出的气流可以消除摆轮和气室支承面之间的磨擦阻力矩；水平 仪用于调节摆轮的水平状态， 藉以保持在摆轮和气室支承面之间形成的薄气层的 均匀性，使摆轮正常摆动。 微音气泵输出的具有一定压力的气流通过进气管进入 气室。进气量的大小可用阀门上的调节开关加以调节。摆轮工作台面上刻有直径 不同的一些同心圆线。 在测量物体的转动惯

3、量时， 可用这些定位线对置于摆轮上 的被测物体进行定位。图 2 气垫摆示意图图 1 平卷簧【实验原理】在开启气源后， 气垫装置通过其气室上的许多小孔射出的气流，托起摆轮， 使摆 轮在摆动过程中所受到的阻尼力矩降到最低程度。若将摆轮适当地转过一个角度 后释放，则它就在平卷簧提供的恢复力矩的作用下作周期性摆动。 气垫摆系统的摆动周期与摆轮或物体的转动惯量之间有确定的关系，利用这一关 系可测量摆轮或物体的转动惯量。 下面分析摆轮转动惯量与气垫摆摆动周期之间 的关系。 为明晰起见，可根据气垫摆摆动过程中能量的变化规律来研究这一关系。 显然，当气垫摆摆轮摆到平衡位置和振幅位置之间的任意位置时，它所具有的

4、机 械能为 EMBED Equation.3 （1） 式中 J0是摆轮的转动惯量，、EMBED Equation.3 为摆轮在这一位置时的角 位移和角速度， D 为平卷簧的刚度。 若忽略摆轮和气室支承面之间的空气粘滞阻 力矩，则气垫摆系统机械能守衡，即有 EMBED Equation.3 （2） 其中EMBED Equation.3 是摆轮在平衡位置时的最大动能，EMBED Equation.3 是摆轮在振幅位置时平卷簧的最大弹性位能。上式对时间 t 求导， 则得 EMBED Equation.3 （3） 或 EMBED Equation.3 （4） 可见，这是一个谐振动方程，其解为 EMBE

5、D Equation.3 （5）式中EMBED Equation.3 是气垫摆摆动的圆频率，EMBED Equation.3 是最大角位移（振幅） ， EMBED Equation.3 是振动初相位。 摆轮的摆动周期为 EMBED Equation.3 （6） 式中的平卷簧刚度EMBED Equation.3 可用下式计算（推导过程见附录） ， 即 EMBED Equation.3 （7） 其中 b、h、L分别为平卷簧的宽度、厚度和长度。将该式代入（6）式，可得 EMBED Equation.3 （8） 上式可改写为 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （9）

6、这就是摆轮的转动惯量与气垫摆摆动周期之间的关系。 当将被测物体置于摆轮工作台台面测其转动惯量J时，则得计算该物体转动惯量 的公式为 EMBED Equation.3 （10） 式中 T为物体与摆轮一起摆动时的振动周期。 (10) 式是测量物体转动惯量的基本 公式。因在上式中平卷簧的弹性模量E 、宽度 b、厚度 h、长度 L 都是设定的， 故只要用气垫摆分别测出摆轮和被测物体与摆轮组合体的振动周期T0 和 T，就可用该式计算出物体的转动惯量。 当将两个形状和质量完全相同的圆柱体对称地置于摆轮工作台台面测其绕摆轮 中心轴的转动惯量时， 在测得这两个圆柱体与摆轮一起摆动的周期T后，仍可用 （10）式

7、计算它们的合转动惯量J，而每个圆柱体的转动惯量Jyl应为 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 （11） 在这种情况下， 还可用转动惯量的平行轴定理来计算圆柱体的转动惯量，根据该 定理，在理论上，圆柱体的转动惯量Jyl应为 EMBED Equation.3 （12） 其中EMBED Equation.3 是圆柱体的质量，EMBED Equation.3 为圆 柱体中心轴与摆轮中心轴之间的距离，EMBED Equation.3 为圆柱体的半径。 上式右边的第二项为圆柱体绕其中心轴的转动惯量。在实验时，可将被测物体的 转动惯量的测量结果与用上式计算得到的理论值作比

8、较。 【实验内容】 一、测量规则物体 -钢质圆环绕其中心轴的转动惯量 1、将气垫摆信号参数测量仪的“测量选择”开关转到“周期”， “时标”开关转 到 10ms挡。开启气垫摆信号参数测量仪电源开关，并作预热和复零。 2、调节气垫摆水平 松开锁母，转动调节螺钉，将水准仪气泡调到居中，使气垫摆处于水平状态，随 后锁紧锁母。 3、调节摆轮平衡位置 开启气源的电源开关， 使摆轮浮起， 并使摆轮静止， 注意这时摆轮上挡光片的位 置，将光电门的红外发射管的进光孔对准挡光片的中心，即为平衡位置。 4、调节摆轮限位杆位置 将两个限位杆移动到适当位置，使摆轮上的挡光片，只能在约40 度的范围内摆 动。 5、轻轻将

9、摆轮转过一个适当的角度（约10） ，然后释放，使其摆动，并用气 垫摆信号参数测量仪测出摆轮摆动50 个周期所需的时间t，重复五次。算出摆轮 摆动周期 T0。 6、将圆环置于摆轮工作台台面，用工作台面上的定位线将圆环定位，使圆环和 摆轮同轴。 令摆轮转过与其空载时大致相同的角度后释放，让其振动， 用气垫摆 信号参数测量仪测出圆环与摆轮组合体摆动50 个周期所需的时间t， 算出圆环与 摆轮一起摆动的周期T。 用公式（ 10）计算出圆环的转动惯量。 8、用天平和游标卡尺测出圆环的几何尺寸和重量，算出圆环的理论转动惯量， 并将圆环的实测转动惯量与其理论值作比较。二、测量钢质圆柱体绕摆轮中心轴的转动惯量

10、，验证平行轴定理 1、用游标卡尺测量个圆柱体的直径和高度，用电子天平测量它的质量。 2、将一个圆柱体置于摆轮工作台中心处，用与前面相同的方法测出一个圆柱体与摆轮一起振动 50 个周期所需的时间t,算出周期 T，用式（10）计算圆柱体过对 称轴的转动惯量 ,并与理论值作比较。 3、将两个圆柱体对称地置于摆轮工作台台面上，使其与直径为120mm 的定位 圆线相切。 4、用与前面相同的方法测出两圆柱体与摆轮一起振动50 个周期所需的时间t, 算出周期 T，用式（10）和（11）计算圆柱体绕钢丝的转动惯量,并与用（ 12）式 计算得到的理论值作比较。 【实验数据记录与处理】 圆环、小圆柱的几何尺寸及质

11、量 圆环外径 2R= mm, 圆环内径 2r= mm, 圆环质量 m= g 小圆柱体外径 2R= mm,高度 h= cm。 记录实验数据 物 体摆轮摆轮+圆环摆轮+小圆柱时间 t 测量次数50T0 （S ）50T （S ）50T （S ）1 2 3 4 5 平均时间EMBED Equation.3 (S) 周期(S) 数据处理 计算被测物体的转动惯量 EMBED Equation.3 = （kgm2） EMBED Equation.3 （kgm2） 计算不确定度和百分差 根据误差理论和（ 9） （10）式，可导得估算摆轮和被测物体转动惯 量的不确定度的公式分别为 EMBED Equation.

12、3 EMBED Equation.3 【思考题】 由于采用了气垫装置， 这使得气垫摆摆轮在摆动过程中所受到的空气粘滞阻尼力 矩降低到最小程度， 可以忽略不计。 但如果考虑这种阻尼的存在，试问它对气垫 摆的摆动（如频率等）有无影响?在摆轮摆动中，阻尼力矩变不变? 试分析在测量中对转动惯量的测量精度影响最大的是哪些物理因素? 附录：平卷簧刚度计算公式的推导 如果在平卷簧上某一点A 处取一段微小长度dL，如图 2 所示，设其力矩 EMBED Equation.3 作用前后的曲率半径分别为EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 ，则有 EMBED Equation.3

13、（13）式中 E是平卷簧材料的弹性模量，I0 是平卷簧截面的轴惯性矩。 如果用 d0 和 d分别表示微小长度EMBED Equation.3 在外力矩作用前 后对曲率中心所张的角度，则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 平卷簧在外力矩 Me 的作用下所产生的转角为 EMBED Equation.3 （14） 因矩形截面平卷簧的轴惯性矩为 EMBED Equation.3 （15） 其中 b、h 分别为平卷簧的宽度和厚度。将上式代入（14）式，可得 EMBED Equation.3 （16）由于扭过角度EMBED Equation.3 时平卷簧所产生的恢复力矩M

14、0 等于平卷簧上作用的外力矩Me， 即 EMBED Equation.3 （17） 据此，可求得平卷簧的刚度为 EMBED Equation.3 （18）用转动定律法借助于气浮平台测物体转动惯量、 转动特性和空气阻尼特性（选做实验） 【实验目的】 学习用气浮平台和转动定律法测物体转动惯量的原理 用气浮平台和转动定律法测物体的转动惯量、研究物体的转动特性 用气浮平台测量空气阻尼系数 【实验仪器】 气垫摆，气垫摆信号参数测量仪，电子天平，游标卡尺（精度0.05mm） ，圆环 （一个） ，小圆柱体（两个）等 【实验原理】 一、用转动定律法借助于气浮平台测转动惯量 卸除气垫摆的平卷簧， 将其变成一个气

15、浮平台， 它主要由气室、 平台和加载装置 三部分组成。 当微音气泵向气室充气后， 空气从气室周边和转动平台表面的小气 孔内喷出， 将转动平台浮起， 基此，气浮平台与气室之间常规意义上的磨擦力被 消除，转动平台得以持续转动。图 1 气浮平台 如果考虑空气阻尼的影响，则气浮转动平台在绳子拉力力矩MT 和空气阻尼力矩 MZ 的作用下，作加速转动。根据转动定理， 可得转动气浮平台的转动方程为 EMBED Equation.3 （1） 其中 J0，分别为转动平台的转动惯量和角加速度。 若考虑加载装置中绳与滑轮的磨擦影响，则绳的拉力矩求解如下： 根据图 1 可列 出如下关系式：EMBED Equation

16、.3 解（2） （3）得： EMBED Equation.3 （4） 故绳的拉力矩为： EMBED Equation.3 （5） 式中 m，a 是砝码的质量和加速度， g 是重力加速度， f 是绳子与小滑轮之间的磨 察力， R是转动平台上的绳子到转动平台中心的距离。 实验表明，斯托克斯定律也适用于转动物体所受到的阻尼情况：当浮在空气上的 转动平台的转速不太大时，阻尼力矩MZ 近似地与角速度EMBED Equation.3 成正比，阻尼力矩方向与转动方向相反，阻尼力矩可写为： EMBED Equation.3 （6） 式中 b 为阻尼系数，将（ 5） （6）代入（ 1）式，得 EMBED Equation.3 (7) 考虑到线量与角量的关系，于是可求得气浮转动平台的转动惯量为： EMBED Equation.3 （8） 同样实验亦可证明，在只有阻尼力矩作用的情况下，气浮转动平台以初角速度 EMBED Equation.3 转动后，其角位移EMBED Equation.3 与角速度 EMBED Equation.3 为线性关系，如图2 所