《浙江专用版2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一学案新人教a版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专用版2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一学案新人教a版必修（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11 14.24.2 正弦函数、余弦函数的正弦函数、余弦函数的性质性质( (一一) )学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期.3.掌握函数ysin x，ycos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性知识点一 函数的周期性思考 1 如果函数f(x)满足f(x3)f(x)，那么 3 是f(x)的周期吗？答案 不一定必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x3)f(x)，才可以说 3是f(x)的周期思考 2 所有的函数都具有周期性吗？答案 不是只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性梳理 函数的周期性(1)对于函数
2、f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性思考 1 证明函数ysin x和ycos x都是周期函数答案 sin(x2)sin x，cos(x2)cos x，2ysin x和ycos x都是周期函数，且 2 就是它们的一个周期思考 2 证明函数f(x)Asin(x)(或f(x)Acos(x)(A0)是周期函数答案 由诱导公式一知，对任意xR R，都有Asi
3、n(x)2Asin(x)，所以AsinAsin(x)，(x2 )即ff(x)，(x2 )所以f(x)Asin(x)(A0)是周期函数，就是它的一个周期2 同理，函数f(x)Acos(x)(A0)也是周期函数梳理 由 sin(x2k)sin_x，cos(x2k)cos_x(kZ Z)知，ysin x与ycos x都是周期函数，2k(kZ Z 且k0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是 2.知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性思考 对于xR R，sin(x)sin x，cos(x)cos x，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案 奇偶性梳理 (1)对于ysin x，xR R，恒有 si
4、n(x)sin x，所以正弦函数ysin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称(2)对于ycos x，xR R，恒有 cos(x)cos x，所以余弦函数ycos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称1函数f(x)x2满足f(36)f(3)，所以f(x)x2是以 6 为周期的周期函数( )提示 周期函数需满足对定义域内每一个值x，都有f(xT)f(x)，对于f(x)x2，f(0)0，f(06)f(6)36，f(0)f(06)，f(x)x2不是以 6 为周期的周期函数2周期函数yf(x)的定义域可以为a，b(a，bR R)( )提示 周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界3任何周期函数都有最小正周期(
5、 )提示 常函数f(x)c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.类型一 三角函数的周期性例 1 求下列函数的最小正周期3(1)ysin(xR R)；(2x 3)(2)y|sin x|(xR R)考点 正弦函数、余弦函数的周期性题点 正弦函数、余弦函数的周期性解 (1)方法一 令z2x，因为xR R，所以zR R. 3函数f(x)sin z的最小正周期是 2，即变量z只要且至少要增加到z2，函数f(x)sin z(zR R)的值才能重复取得而z22x22(x)，所以自变量x只要且至少要增加到x，函数 3 3值才能重复取得，所以函数f(x)sin(xR R)的最小正周期是 .(2x 3
6、)方法二 f(x)sin的最小正周期为.(2x 3)2 2(2)因为y|sin x|Error!(kZ Z)其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为 .反思与感悟 对于形如函数yAsin(x)，A0 时的最小正周期的求法常直接利用T来求解，对于y|Asin x|的周期情况常结合图象法来求解2 |跟踪训练 1 (2017大同检测)下列函数是以 为周期的函数是( )Aysin x Bysin x2Cycos 2x2 Dycos 3x1考点 正弦函数、余弦函数的周期性题点 正弦函数、余弦函数的周期性答案 C解析 ysin x及ysin x2 的周期为 2，ycos 2x2 的周期为 ，ycos 3x
7、1的周期为.2 3类型二 三角函数的奇偶性4例 2 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)cosx2sin x；(3 22x)(2)f(x).12cos x2cos x1考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性解 (1)f(x)sin 2xx2sin x，xR R，f(x)sin(2x)(x)2sin(x)sin 2xx2sin xf(x)，f(x)是奇函数(2)由Error!得 cos x .1 2f(x)0，x2k，kZ Z. 3f(x)既是奇函数又是偶函数反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)
8、与f(x)的关系对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断跟踪训练 2 若函数ycos(x)是奇函数，则( )A0 Bk(kZ Z)Ck(kZ Z) Dk(kZ Z) 2考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性答案 D解析 由函数ycos(x)是奇函数，可知ycos(x)sin x或ycos(x)sin x，由诱导公式，得k(kZ Z) 2类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例 3 定义在 R R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是 ，且当x时，f(x)sin x，求f的值0， 2(5 3)考点 正弦函
9、数、余弦函数性质的综合应用5题点 正弦函数性质的综合应用解 f(x)的最小正周期是 ，fff.(5 3)(5 32)( 3)又f(x)是 R R 上的偶函数，ffsin .( 3)( 3) 332f.(5 3)32例 4 已知函数f(x)cosx，求f(1)f(2)f(3)f(2 020)的值 3考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用题点 余弦函数性质的综合应用解 f(1)cos ，f(2)cos ，f(3)cos 1，f(4) 31 22 31 2cos ，f(5)cos ，f(6)cos 21，4 31 25 31 2f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)0.同理，可得每连续六项
10、的和均为 0.f(1)f(2)f(3)f(2 020)f(2 017)f(2 018)f(2 019)f(2 020)coscoscoscos2 017 32 018 32 019 32 020 3coscoscos cos 32 34 3 (1) .1 2(1 2)(1 2)3 2反思与感悟 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值跟踪训练 3 设函数f(x)sin x，则f(1)f(2)f(3)f(2 018)_. 3考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用题点 正弦函数性质的综合应用答案 3解析 f(x)sin x的周期T6， 32 3
11、f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016)f(2 017)f(2 018)6336f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(2 017)f(2 018)336(sin 3sin 23sin sin 4 3sin 5 3sin 2)f(33661)f(33662)3360f(1)f(2)sin sin . 32 331(2017金华十校期末)设函数f(x)cos(x)(0)，则f(x)的奇偶性( )A与有关，且与有关 B与有关，但与无关C与无关，且与无关 D与无关，但与有关考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性答案 D解析 因为当k，kZ
12、 Z 时，函数f(x)cos(x)cos x，为偶函数；当k，kZ Z 时，函数f(x)cos(x) 2sin x，为奇函数所以f(x)的奇偶性与无关，但与有关2设函数f(x)sin，xR R，则f(x)是( )(2x 2)A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为的奇函数 2D最小正周期为的偶函数 2考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性答案 B解析 sinsincos 2x，(2x 2)( 22x)f(x)cos 2x.7又f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，f(x)是最小正周期为 的偶函数3函数ysin的最小正周期为 2，则的
13、值为_(x 4)考点 正弦函数、余弦函数的周期性题点 正弦函数、余弦函数的周期性答案 解析 T2，|，.2 |4函数f(x)是周期函数，10 是f(x)的一个周期，且f(2)，则f(22)_.2考点 正弦函数、余弦函数的周期性题点 正弦函数、余弦函数的周期性答案 2解析 f(22)f(2220)f(2).25(2017广州六中期末)已知函数f(x)axbsin x1，若f(2 018)7，则f(2 018)_.考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性答案 5解析 由f(2 018)2 018absin 2 01817，得 2 018absin 2 0186，f(
14、2 018)2 018absin 2 0181(2 018absin 2 018)1615.1求函数的最小正周期的常用方法(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(xT)f(x)成立的T.(2)图象法，即作出yf(x)的图象，观察图象可求出T，如y|sin x|.(3)结论法，一般地，函数yAsin(x)(其中A，为常数，A0，0，xR R)的周期T.2 2判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键如果定义域关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.8一、选择题1下列是定义在 R R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )考点 正弦函数、余弦函数的周期性题点 正弦函数、余弦函数的周期性答案 D解析 对于 D，x(1,1)时的
