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1、11.31.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式( (二二) )学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生” “发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力知识点一 诱导公式五完成下表，并由此总结角，角的三角函数值间的关系 2(1)sin ，cos ，sincos； 61 2 31 2 6 3(2)sin，cos，sincos； 422 422 4 4(3)sin，cos，sincos. 332 632 3 6由此可得诱
2、导公式五sincos ( 2)，cossin ( 2)，2知识点二 诱导公式六思考 能否利用已有公式得出的正弦、余弦与角的正弦、余弦之间的关系？ 2答案 以代替公式五中的得到sincos()，( 2)cossin()( 2)由此可得诱导公式六sincos ( 2)，cossin( 2)知识点三 诱导公式的推广与规律1sincos ，cossin ，(3 2)(3 2)sincos ，cossin .(3 2)(3 2)2诱导公式记忆规律：公式一四归纳：2k(kZ Z)，的三角函数值，等于角的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限” 公式五六归纳
3、：的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加 2上一个把看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定” 六组诱导公式可以统一概括为“k(kZ Z)”的诱导公式 2记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限其中“奇、偶”是指k(kZ Z)中k的奇偶性， 2当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变 “符号”看的应该3是诱导公式中，把看成锐角时原函数值的符号，而不是函数值的符号1诱导公式五、六中的角只能是锐角( )提示 诱导公式五、六中的角是任意角2诱导公式五、六与诱导公式一四的区别在于函数名称要改变( )提示 由诱导公式一六
4、可知其正确3sincos .( )(k 2)提示 当k2 时，sinsin()sin .(k 2)4口诀“符号看象限”指的是把角看成锐角时变换后的三角函数值的符号( )提示 应看原三角函数值的符号.4类型一 利用诱导公式求值例 1 已知 cos ，求 sin的值( 6)3 5 23 2(2 3)考点 诱导公式五、六题点 诱导公式六解 ，2 3( 6) 2sinsincos .(2 3)( 6) 2( 6)3 5反思与感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如与 3，与，与等互余，与，与 6 3 6 4 4 32 3 4等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换
5、来解决问题3 4跟踪训练 1 已知 sin，求 cos的值( 6)33( 3)考点 诱导公式五、六题点 诱导公式五解 ， 6 3 2. 3 2( 6)coscos( 3) 2(6)sin.( 6)33类型二 利用诱导公式证明三角恒等式例 2 求证：tan .tan2sin2cos6sin(32)cos(3 2)考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式证明5证明 左边tansincossin2(2)cos2(2)tan sin cos sin(2)cos(2)sin2sin(2)cos(2)sin2 cos sin sin cos tan 右边原等式成立反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题
6、，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同跟踪训练 2 (2017佳木斯检测)求证：.sin cos sin cos 2sin(32)cos( 2)112sin2考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式证明证明 右边2sin(32)sin 112sin22sin(2)sin 112sin22sin(2)sin 112sin22cos sin 1 cos2sin22sin2左边，sin cos 2sin
7、2cos2sin cos sin cos 所以原等式成立6类型三 诱导公式的综合应用例 3 已知f().sincossin(2)cossin(1)化简f()；(2)若角A是ABC的内角，且f(A) ，求 tan Asin A的值3 5考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式求值解 (1)f()cos .sin cos cos cos sin (2)因为f(A)cos A ，3 5又A为ABC的内角，所以由平方关系，得 sin A ，1cos2A4 5所以 tan A ，sin A cos A4 3所以 tan Asin A .4 34 58 15反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式
8、化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱跟踪训练 3 已知 sin 是方程 5x27x60 的根，是第三象限角，求tan2()的值sin(32)cos(3 2)cos(2)sin(2)考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式求值解 方程 5x27x60 的两根为x1 ，x22，3 5由是第三象限角，得 sin ，则 cos ，3 54 5tan2()sin(32)cos(3 2)cos(2)sin(2)7tan2sin(2)cos(2)sin cos tan2tan2cos sin sin cos .sin2 cos29 161已知 sin
9、 ，则 cos等于( )5 13( 2)A. B. C D5 1312 135 1312 13考点 诱导公式五、六题点 诱导公式六答案 C解析 cossin .( 2)5 132若 cos(2)，则 sin等于( )53(3 2)A B532 3C. D5353考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式求值答案 A解析 cos(2)cos()cos ，53sincos .(3 2)533已知 sin ，则 cos的值为( )( 4)1 3( 4)A. B C. D2 232 231 31 38考点 诱导公式五、六题点 诱导公式五答案 C解析 coscos( 4) 2(4)sin .( 4)
10、1 34已知 tan 2，则等于( )sin(2)cossin(2)sinA2 B2 C0 D.2 3考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式求值答案 B解析 sin(2)cossin(2)sincos cos cos sin 2.2 1tan 2 125已知 sin(5)sin，求 sin4cos4的值(5 2)72( 2)(3 2)考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式求值解 sin(5)sin(5 2)sin()sin( 2)sin cos ，72sin cos (sin cos )211 2 ，1 2(72)213 8sin4cos4cos4sin4( 2)(3 2)9(
11、sin2cos2)22sin2cos2122.(3 8)23 321诱导公式的分类及其记忆方式(1)诱导公式分为两大类：k2，(2k1)(kZ Z)的三角函数值，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限” ，的三角函数值，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看成锐 2 2角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限” (2)以上两类公式可以归纳为：k(kZ Z)的三角函数值，当k为偶数时，得的同 2名函数值；当k为奇数时，得的异名函数值，然后在前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号2利用诱导公式求任意角的正弦、余
12、弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成内的三角函数值”这种方式求解(0， 2)用诱导公式把任意角的三角函数转化为 0 到之间的角的三角函数的基本步骤： 2一、选择题1已知 cos ，则 sin等于( )1 4( 2)A. B C. D1 41 4154154考点 诱导公式五、六题点 诱导公式六答案 A10解析 sincos .( 2)1 42已知 sin ，那么 cos 等于( )(5 2)1 5A B2 51 5C. D.1 52 5考点 诱导公式五、六题点 诱导公式六答案 C解析 sincos ，故 cos ，故选 C.(5 2)1 53(2017福建双十中学期末)化简 si
13、ncostan的结果是( )( 2)(3 2)( 2)A1 Bsin2 Ccos2 D1考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式求值答案 C解析 因为 sincos ，( 2)coscossin ，(3 2)( 2)tan，( 2)sin(2)cos(2)cos sin 所以原式cos (sin )cos2，故选 C.cos sin 4(2017上饶检测)已知 sin 10k，则 cos 620的值为( )Ak Bk Ck D不确定考点 诱导公式的综合应用题点 综合运用诱导公式求值答案 B解析 cos 620cos(360260)cos 260cos(27010)sin 10k.5已知f(sin x)cos 3x，则f(cos 10)的值为( )A B. C D.1 2
