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1、广东北江中学高二数学补充讲义多面体与求距离第1 页 共 12 页教师版多面体的面积与体积（3 课时）【一】多面体的概念、性质和公式：(1) 棱柱的概念与性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有 两 个 面 互 相 平行，其它各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体叫棱柱。侧棱不垂直底面的棱柱叫斜棱柱。侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。性质（1）侧 棱 平 行且相等；（2）侧 面 是 平行四边形；（3）平 行 于 底面 的 截 面和 底 面 是全 等 的 多边形；（4）过 不 相 邻的 两 条 侧棱 的 截 面是 平 行 四边形。（1）侧 棱 都 相等 且
2、 互 相平行，等于高。（2）侧 面 是 矩形。（3）对 角 面 是矩形。（1）侧 棱 相 等且 互 相 平行 ， 等 于高。（2）侧 面 是 全等的矩形。（3）对 角 面 是矩形，有的是 全 等 的矩形。广东北江中学高二数学补充讲义多面体与求距离第2 页 共 12 页（2）棱锥的概念与性质及公式名称棱锥正棱锥图形定义底面是多边形， 其余各面是有一个公共顶 点的三角形的多面体叫棱锥。底面是正多边形，且顶点在底面的射影是 底面中心的棱锥叫正棱锥。性质（1）底面是多边形；（2）侧 棱 不 一 定 相等；（3）若棱锥被平行于底 面 的 平 面 所截，则截面与底面相似且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已
3、知棱锥的高的平方比，体积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的立方比。（1）底 面 是 正 多 边形；（2）侧面都是全等的正三角形；（3）侧棱都相等；（4）棱锥的高、斜高和底面内半径及高、侧棱和底面外半径分别构成直角三角形。（3）三棱锥的重要性质条件顶点在底面上的射影是底面三角形的（1）三条侧棱相等外心（2）三条侧棱与底面所成的角相等外心（3） 三条侧棱两两垂直 （或两对相对棱垂直）垂心（4）顶点到底面各边的距离相等内心或旁心（5）三个侧面与底面所成的二面角相等内心或旁心（6）三个侧面在底面上的射影面积相等重心（7）过侧棱和高的截面将它分成两个等积的小三棱锥重心【二】例题解析【题 1】选择题：
4、（ 1）从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，若这三条斜线与平面所成的角都相等，则下列判断正确的是（）（A）斜足构成正三角形（B）垂足是斜足构成的三角形的内心（C）垂足是斜足构成的三角形的外心（D）垂足是斜足构成的三角形的垂心2.给出下列四个命题：如果直线a平面 ，a平面 ，且 ，则 a 与平面 的距离等于平面与 广东北江中学高二数学补充讲义多面体与求距离第3 页 共 12 页的距离；两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条平行直线的距离等于这两个平面间的距离；异面直线a、b 分别在两个平行平面内，则a、b 的距离等于这两个平面的距离；若点 A 在平面 内，平面 和平行，则A 到平面 的距
5、离等于平面与平面 的距离 . 其中正确的命题的个数是C A.1 B.2 C.3 D.4 3.正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均相等，则AC1与平面BB1C1C 所成角的余弦值等于 A A. 410B. 66C. 26D. 2104.棱锥被平行于底的平面所截，若截面面积与底面面积之比为12，则此棱锥的高被分成两段 (从顶点到截面和从截面到底面)之比为 D A.12 B.1C.1(21) D.(2 1)1 5.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为 1 的正方形，且BCFADE 、均为正三角形， EFAB，EF=2，则该多面体的体积为（）（A） 32（ B） 33（C） 34（
6、 D） 23【解析】过A、B 两点分别作AM、BN 垂直于 EF，垂足分别为M、N，连结 DM 、CN，可证 得DM EF 、 CN EF，多 面 体ABCDEF分 为三 部 分， 多 面 体的 体 积V 为BNCAMDABCDEFVVBNCFAMDEVV， 21NF，1BF， 23BN，作 NH 垂直于点H，则 H 为BC的中点，则 22NH， 4221NHBCSBNC，24231NFSVBNCBNCF，242BNCFAMDEVV， 42MNSVBNCBNCAMD， 32A B C D EFV，故选 AEFABCDMNH广东北江中学高二数学补充讲义多面体与求距离第4 页 共 12 页题 2：
7、如图为一个几何体的三视图,主视图和左视图为全等的等腰梯形，上、下底边长分别为2，4。俯视图中内 ,内外为正方形，边长分别为2，4，几何体的高为3，求此几何体的表面积 . 解如图 , 连接 BD,BD, 过 B分别作下底面及BC的垂线交 BD于 E,BC于 F. 则 BE =2BB=11BF=1 , BF=10S全面积=20+1210题 3. 正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45 角，求此棱锥的侧面积与全面积. 分析：可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得. 解：如图所示，设正三棱锥SABC 的高为 SO，斜高为SD，在 RtSAO 中，AOSA cos45AO23AD2332aSA63a在 R
8、tSBD 中SDaaa 615) 21() 36(22S侧1 2 3a SD15 4a2. S底3 4a2S全（15434）a2DCABCDBAFE广东北江中学高二数学补充讲义多面体与求距离第5 页 共 12 页题 4.如右图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，侧棱 B1B 与底面 ABC 所成的角为 3，且侧面ABB1A1垂直于底面ABC.(1)证明 ABCB1(2)求三棱锥B1ABC解 (1)在平面 ABB1A1内，过 B1作 B1DAB 于 D，侧面 ABB1A1平面 ABC， B1D平面 ABC， B1BA 是 B1B 与底面 ABC 所成的角， B1BA=60, 2 分
9、三棱柱的各棱长均为2. ABB1是正三角形 , D 是 AB 的中点，连结CD. 在正 ABC 中， CDAB， ABCB1. 4 分（ 2） B1D平面 ABC， B1D 是三棱锥B1ABC 的高，由 B1B=2， B1BA=60，得 B1D=2sin60=3. 6 分ABCBV 1= 31SABCB1D= 31（ 21 232 2） 3=1. 8 分题 5：一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中 E、F 分别是 PB、 AD 的中点）（1）求证： EF平面 PBC；(2）求三棱锥B AEF 的体积。证： （ 1）取 PC 的中点 G，连结 EG，GD，则广东北江中学高二数学补充讲义多面
10、体与求距离第6 页 共 12 页./ 21/DFGEBCEG，所以易知 FD 平面 PDC，DG面 PDC，所以 FD DG。所以四边形FEGD 为矩形，因为G 为等腰RtRPD 斜边 PC 的中点，所以DGPC，又 DGGE， PCEG=E 所以 DG平面 PBC，因为 DG/EF 所以 EF平面 PBC。（）3224121413131aaaOESVVABFABFEAEFB题 6.如图所示，等腰ABC 的底边 AB=66，高 CD=3，点 B 是线段 BD 上异于点B、D 的动点 .点 F 在 BC 边上，且 EFAB.现沿 EF 将BEF 折起到 PEF 的位置，使PEAE。记BEx， V
11、(x)表示四棱锥PACFE 的体积。（）求V(x)的表达式；（）当x 为何值时， V(x)取得最大值？（）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC 与 PF 所成角的余弦值；（ 1） 由 折 起 的 过 程 可 知 ， PE 平 面ABC ，96ABCS，2 265412BEFBD CxSSxV(x)=261 (9) 312xx（036x）（2）261()(9) 34Vxx，所以(0 , 6 )x时，()0vx， V(x) 单调递增；636x时()0vx， V(x) 单调递减；因此x=6 时， V(x) 取得最大值126；（3）过 F 作 MF/AC 交 AD 与 M, 则,212 12BMBF
12、BEBEM BBE ABBCBDAB，PM=62，66 54942 336M FBFPFBC，在 PFM 中，84722cos 427PFM，异面直线AC 与 PF 所成角的余弦值为27；题 7.如图， 已知 ABCD A1B1C1D1是棱长为a 的正方体， E、F 分别为棱 AA1与 CC1的中点，求四棱锥的A1EBFD1的体积 . 广东北江中学高二数学补充讲义多面体与求距离第7 页 共 12 页本小题主要考查直线与直线，直线与平面， 平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力 .满分 10 分. 解法一 EB=BF=FD1=D1E=22) 2(aa= 25a， 四棱锥 A1EBF
13、D1的底面是菱形 . 2分连结 A1C1、EF、BD1，则 A1C1EF. 根据直线和平面平行的判定定理，A1C1平行于A1EBFD1的底面，从而A1C1到底面EBFD1的距离就是A1EBFD1的高 4 分设 G、H 分别是 A1C1、EF 的中点，连结D1G、GH，则 FH HG， FHHD1根据直线和平面垂直的判定定理，有FH 平面 HGD1，又，四棱锥A1EBFD1的底面过FH ，根据两平面垂直的判定定理，有A1EBFD1的底面平面HGD1. 作 GKHD1于 K，根据两平面垂直的性质定理，有GK 垂直于 A1EBFD1的底面 . 6 分 正方体的对角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1
14、D1, HGD1=90o. 在 RtHGD1内， GD1= 22a，HG= 21a，HD1= 21BD= 23a. 23a GK= 21a 22a，从而 GK= 66a. 8 分11EBFDAV= 311EBFDS菱形 GK= 31 21 EF BD1 GK = 61 2 a3a 66a= 61a3 10 分解法二 EB=BF=FD1=D1E=22) 2(aa= 25a， 四菱锥 A1EBFD1的底面是菱形 . 2分广东北江中学高二数学补充讲义多面体与求距离第8 页 共 12 页连结 EF ，则 EFB EFD1. 三棱锥 A1EFB 与三棱锥 A1EFD1等底同高， 111EFDAEFBAV
15、V. EFBAEBFDAVV1112. 4 分又 11EBAFEFBAVV， 1112EBAFEBFDAVV， 6 分 CC1平面 ABB1A1， 三棱锥 FEBA1的高就是 CC1到平面 ABB1A1的距离，即棱长a. 8 分又 EBA1边 EA1上的高为a. 11EBFDAV=2 311EBAS a= 61a3. 10 分题 8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点I证明 ADD1F；II 求 AE 与 D1F 所成的角；III 证明面AED面 A1FD1；IV设 AA1=2,求三棱锥 F-A1ED1的体积11EDAFV本小题主要考查直线与直线、直线与平面、 平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分解:()AC1是正方体，AD面 DC1又 D1F面 DC1，ADD1F()取 AB 中点 G，连结 A1G，FG因为 F 是 CD 的中点， 所以 GF、 AD 平行且相等，又 A1D1、AD 平行且相等，所以GF 、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1GD1F设 A1G 与 AE 相交于点H，则 AHA1是 AE 与 D1F 所成的角， 因为 E 是 BB1的中点，所以 RtA1AGRtABE，G
