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1、第6章 向量空间,6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间,向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（Linear Spaces）.本章的特点及要求：,向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，是进一步学习数学必备的内容. 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解的结构. 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉用公理系统处理代数问题的思
2、维方法、逻辑推理的方法.,6.1 向量空间的定义和例子,引例定义产生的背景. 向量空间的定义抽象出的数学本质. 进一步的例子加深对定义的理解. 一些简单性质.,1. 引例定义产生的背景,A+B=B+A (A+B)+C= A+( B+C) OA=A A+(-A)=O,a(A+B)= aA+Ab (a+b)B=a B +Bb (ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的： 8. 1AA,例2 设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个向量，加法和数乘满足同样的8条性质. 按照解析几何的方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都有
3、表达式， 类似的问题许多，有必要总结它们的共性：,涉及两个集合（其中一个集合）.涉及两种运算（什么样的运算？）.满足8条运算性质.,2. 向量空间的定义抽象出的数学本质,定义1 设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：,闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数 和V中元素v, 一定有： v属于V.,加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、
4、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量，记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足：u+v= 0. 这样的u称为v的负向量.,乘法的性质：,(m1),(m2),(m3),(m4) 1u= u 对所有u属于V.,3. 进一步的例子加深定义的理解,例4 数域F上一元多项式集合Fx按照通常的加法与数乘构成F上的向量空间，称为多项式空间.,证明：根据多项式加法和数乘的定义，,(a2) f(x)+g(x)+h(x)= f(x)+ g(x) +h(x) ,(a3) 0向量就是零多项式.,(a4) f(x)的负向量为（- f(x)）.,例5
5、 Ca,b表示区间a,b上连续实函数按照通常的加法与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间. 证明： 比照例3，给出完整步骤.,例6 （1）数域F是F上的向量空间. （2）R是Q上的向量 空间，R是否为C上的向量空间？,例7 设数域取R, 集合为R+(实数)，加法和数乘定义为：,证明：,注3：运算可以是通常的，可以重新定义的. 如何理解运算？ 注4：取数乘为通常的乘法如何？，向量空间与运算有关. 注5：证明向量空间需要10条性质，其中：8条是验证，2条需要解方程求出零向量与负向量.,证明：留作课外练习.,4. 简单性质,（1） 零向量0是唯一的. （2） 一个向量v的负向量是唯一的，用（-
6、v）表示.,（5）,6.2 子空间,一、内容分布,6.2.1 子空间的概念,6.2.2子空间的交与和.,二、教学目的,1理解并掌握子空间的概念.,2掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间.,3掌握子空间的交与和的概念.,三、重点、难点,子空间的判别，子空间的交与和,6.2.1 子空间的概念,设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空子集.对于W 中任意两个向量，它们的和+是V中一个向量. 一般说来，+不一定在W 内.如果W中任意两个向量的和仍在W内，那么就说，W对于V的加法是封闭的. 同样，如果对于W中任意向量和数域F中任意数a，a仍在W内，那么就说，W 对于标量与向量的乘法是封闭的
7、.,定理6.2.1,设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么本身也作成上一个向量空间.,定义1,令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W是V 的一个子空间.,由定理6.2.1，V的一个子空间也是F上一个向量空间，并且一定含有V的零向量。,例1,向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单独一个零向量所成的集合0显然对于V的加法和标量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间，称为零空间。,一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。V的非平凡子空间叫做V的真子空间。,例2
8、,是不是 的子空间？是不是 的子空间？,解 U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间 的非空子集。又中 的运算是矩阵的加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U是 的 一个子空间。,不是 的子空间，因为n阶单位矩阵I及 I W，但,在空间V2里，平行于一条固定直线的一切向量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作成V3的子空间(6.1,例1)。,例3,例4,中一切形如,的向量作成 的一个子空间。,例5,F x中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连同
9、零多项式一起作成F x的一个子空间。,例6,闭区间a,b上一切可微分函数作成C a,b的一个子空间。,例7,设,(1) 把满足AX = 0的解X表示为 ，,显然 。并记AX = 0的解集为,证明 是向量空间 的一个子空间。,(2) 记AX = 的解集为 是否也是 的一个字空间？这里,证明 （1）首先，,，且A0 = 0，所以， 。,其次，如果 那么 所以 ，对于任何 。故 对于 的两种运算封闭， 是向量空间 的一个子空间。,定理6.2.2,向量空间W的一个非空子集W是V的一个子空间，要且只要对于任意a,bF和任意,W，都有a+bW,（2）可以知道，在0 的时候， 不一定是 的子空间。因为对任何
10、 ，都有A (X + Y) = AX +AY =+，故 对 的加法不封闭。,6.2.2子空间的交与和,设W1，W2是向量空间V的二个子空间，那么它们的交W1W2也是V的一个子空间.,一般，设 Wi 是向量空间V的一组子空间（个数可以有限，也可以无限）.令 表示这些子空间的交。如同上面一样可以证明，也是V的一个子空间.,作为子集的二个子空间W1与W2 的并集，一般说来不是子空间，现在考虑V的子集。,由于0W1，0W2，所以0=0+0W1+W2，因此W1+W2。设a, bF, ,W1+W2, 那么, 因为W1,W2都是子空间,所以 , ,于是,这就证明了W1+W2是V的子空间,这个子空间叫做W1与
11、W2 的和.,图6-2-1,图6-2-2,图6-2-3,例8 在 中，终点位于过原点的同一条直线l上的所有向量作成 的子空间W。为叙述简便，也说W就是过原点的直线 l ，直线 l 是 的子空间（图6-2-1）。这样， 中过原点的直线都是 的子空间。同理， 中以过原点的平面上的点为终点的所有向量作成 的子空间。这样，过原点的平面都是 的子空间（图6-2-2）。,两个子空间的和的概念也可以推广到任意有限的子空间的情形.设W1,W2,，Wn是V 的子空间.容易证明,一切形如 的向量作为V 的一个子空间,这个子空间称为子空间W1,W2,，Wn的和,并且用符号W1+W2+Wn来表示.,不过原点的直线不能
12、作成 的子空间，如图6-2-3所示， 为不过原点的直线，以 上两点A，B为终点的向量，的和+按平行四边形法则 ，其终点C不在 上，因此 不能作成 的子空间。同样，不过原点的平面也不能作成 的子空间。,6.3向量的线性相关,一、内容分布,6.3.1 线性组合与线性表示,6.3.2 线性相关与线性无关,6.3.3 向量组等价,6.3.4 向量组的极大线性无关组,二、教学目的,1准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别,2理解向量组的等价及极大无关组的概念,3掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法,三、重点、难点,线性相关性（无关）、向量组的极大线性无关组等概念，替换定理的证明,6.3.1 线性组合与线性表示,定义1,设 是向量空间V的r个向量， 是数域F中任意r个数. 我们把和,叫做向量 的一个向量组合.,如果V 中某一向量可以表示成向量 的线性组合，我们也说可以由 线性表示.,零向量显然可以由任意一组向量 线性表示，因为,6.3.2 线性相关与线性无关,定义2,设 是向量空间V的r个向量。如果存在F中不全为零的数 使得,（1）,那么就说 线性相关.,如果不存在F中不全为零的数 使得等式（1）成立，换句话说，等式（1）仅当 时才成立，那么就说，向量 线性无关.,例1,令F是任意一个数域。 中向量,
