《数理统计》(浙大四版)--假设检验

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1、 与参数估计一样，假设检验也是人们在科学研究和生产、生活实践中提出的一类非常重要的统计推断 问题，在数理统计的理论研究和实际应用中都占有重 要地位。假设检验问题 对总体X 的分布类型或分布参数做出某种假设，根据抽取的样本观察值，运用数理统计 的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受 或拒绝所作假设的问题。本章主要介绍参数的假设检验问题。前 言8.1 假设检验8.2 正态总体均值的假设检验8.3 正态总体方差的假设检验8.4 分布拟合检验8.5 假设检验问题的p值法8.1 假设检验8.1 假设检验一、问题的提出二、基本思想及推理方法三、两类错误四、小结一、问题的提出【引例1】将一枚硬币随机

2、抛250次，发现有97次正面朝上,153次反面朝上。问用此枚硬币打赌是否公平？【分析】此问题中我们关心的是：随机抛落时，该枚硬币正面朝上的概率与反面朝上的概率是否相等。若设正面朝上的概率为p，则本题的任务就是要根据实验结果来判断“p=0.5”和“p0.5”哪一个成立。【解决思路】正常情况下，真硬币是均匀的，而我们不应轻易怀疑一枚硬币是假币。所以首先谨慎假设“p=0.5”，并称之为原假设或零假设，记为H0；而“p0.5”称为备择假设，记为H1；然后根据样本所提供的信息判定零假设“p=0.5”是否成立.8.1 假设检验【引例2】某车间用一台包装机包装葡萄糖，袋装唐的净重是个 随机变量，它服从正态分

3、布.当机器正常时，其均值为0.5kg,标 准差为0.015kg.某日开工后，为检验包装机是否正常，随机抽取它所包装的9袋糖，称得净重为（kg）： 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512问机器是否正常？ 【分析】设袋装唐的净重为总体X，其分布为N(, 2)，其中可 由实际情况假定2=0.0152不变.为此，本问题是根据样本值来判 断=0.5是否成立?即 提出假设：然后给出一个合理法则，根据此法则，利用已知样本对上述假 设进行检验，并作出接受或拒绝H0的决策.8.1 假设检验原假设备择假设二、假设检验的基本思想及相关概念下面通过对

4、【引例2】的具体解决来进一步说明假设检验的基 本思想、推理方法和具体步骤。检验的目的：在H0与H1之间做选择：若认为H0是正确的， 则选择H0，否则拒绝H0，而是接受H1.对统计假设的取舍是由样本数据提供支持的，那么如何确定 样本数据是否与原假设一致呢？由题意，已知HH0 0： ；HH1 1：要求检验假设：1、基本思想8.1 假设检验样本均值 是总体均值 的无偏估计，因此 的观察值的大 小在一定程度上反映了 的大小.已知 ，而0= 0.5 ，对于样本均值 的观察值 与假设的总体均值0之间的差异有两种解释：(1)原假设H0是正确的，即0=0.5，由于抽样的随机性，观察 值 与0之间出现某些差异是

5、完全可能的。(2)原假设H0是不正确的，即0，因而观察值 与0 之间的差异不是随机性的，而是存在实质性的差异，或者说存在显 显著差异。8.1 假设检验由题意，已知HH0 0： ；HH1 1：要求检验假设：若H0成立，则在一次试验中应不太可能发生，表明Z应在0的附近取值，偏离0的可能性较小较大的可能性较小较大的可能性较小(1)依题意，做假设：HH0 0： VSVS HH1 1：(2)从 着手考虑检验：为小概率事件为小概率事件因为E(Z)=0，否则，应拒绝H0。由题意，已知HH0 0： ；HH1 1：要求检验假设：检验统计量8.1 假设检验(3)给定可能性较小的标准a，称其为检验水平。a一般取0.

6、1, 0.05, 0.01,0.005.从而得到从而得到拒绝域拒绝域：(4)对于给定的检验水平a ，如何确定常数k 呢？为为小概率事件小概率事件小概率的标准是什么？（英国统计学家Fisher和Pearson给出）。为小概率事件为小概率事件称为拒绝域C的临界值。查N(0,1)表，确定 使(5)由样本值计算统计值z，并与临界值za/2比较, 若|z|za/2，若|z|za/2，则拒绝原假设；则拒绝原假设。8.1 假设检验试验值落入拒绝域中应当指出，上例中的结论是在检验水平a=0.05的情况下做出的 ，若取a为其他水平值，则有可能做出接受H0的判断。为慎重起见，可做进一步检验，然后再做决定。可见，假

7、设检验的结论与选取的检验水平a有密切关系，因此，必须说明假设检验的结论是在怎样的水平下做出的。8.1 假设检验Step1: 根据实际问题提出原假设根据实际问题提出原假设HH0 0与备择假设与备择假设HH1 1，即说明需要，即说明需要检验的假设的具体内容；检验的假设的具体内容；Step2: 选取适当的检验统计量，并在原假设选取适当的检验统计量，并在原假设HH0 0成立的条件下确成立的条件下确 定该统计量的分布及其定该统计量的分布及其HH0 0的拒绝域的形式；的拒绝域的形式；Step3: 按问题的具体要求，选取适当的检验水平按问题的具体要求，选取适当的检验水平a a，并根据统计，并根据统计量的分布

8、查表，确定对应于量的分布查表，确定对应于a a的临界值，求出的临界值，求出HH0 0的拒绝域；的拒绝域；Step4: 根据样本观察值计算统计量的统计值，并与临界值比较，根据样本观察值计算统计量的统计值，并与临界值比较，从而对拒绝域接受原假设从而对拒绝域接受原假设HH0 0作出决策。作出决策。2、假设检验的一般步骤8.1 假设检验三、两类错误一方面，假设检验的理论依据是小概率事件的“实际不可能原 理”。然而，由于小概率事件A，无论概率多么小，还是可能 发生的，所以可能做出错误的判断。另一方面，作假设检验的依据是样本，因而我们得到的信息量 是受到限制的，这也可能导致我们最终做出错误的判断。综上，假

9、设检验中，无论是做出接受或拒绝原假设，我们的判断都有可能是错误的（而且是不可避免的）。犯错误的情 况有两种：8.1 假设检验第一类错误（“弃真”错误）原假设H0实际上成立，但被拒绝，从而犯了拒真错误。犯这类错误的原因是假设检验所依据的原理“小概率事件在一次试验 中实际不发生”并非必然性原理，概率小的事件也有发生的可 能性。犯此类错误的概率为：第二类错误（“取伪”错误）原假设H0实际上不成立，但被接受，从而犯了取伪错误。犯这类错误的概率为：8.1 假设检验譬如，在【引例2】中，拒绝域为由于从而于是，当H0成立时，犯第一类错误的概率为当H1成立时，犯第二类错误的概率为8.1 假设检验犯第一类错误的

10、概率为犯第二类错误的概率为可以看出，在固定样本容量下 不可能达到8.1 假设检验【思考】实际问题的假设检验中，原假设与备责假 设地位是否平等？应如何选择原假设和备责假设？ 假设检验是控制犯第一类错误的概率，所以检验法本身对原假设起保护作用，绝不轻易拒绝原假设，因此原假设与备择假设地位是不平等的。 正因为此，常常把那些保守的、历史的、经验的、不轻易被否定的取为原假设，而把那些猜测的、可能的、预期的取为备择假设。8.1 假设检验8.1 假设检验8.2 正态总体均值的假设检验8.3 正态总体方差的假设检验8.4 分布拟合检验8.5 假设检验问题的p值法8.2 正态总体均值的假设检验一、单个正态总体均

11、值 的检验二、两个正态总体均值差1 - 2的检验1、2已知，关于 的Z检验2、2未知，关于 的T检验1、 已知时均值差的Z 检验2、 未知时均值差的T 检验三、基于成对数据的检验（T 检验）8.2 正态总体均值的假设检验选择检验函数设总体 为取自总体 的样本1、 已知时均值的 检验(1)检验当H0成立时（统计量，但分布未知） N(0,1)，而（不是统计量）（Z的取值不应太偏离0）说明的可能性比较小,-kkz-kz-k一、单个正态总体均值 的检验因此，拒绝域形式为8.2 正态总体均值的假设检验所以拒绝域为当H0成立时, 给定 ，由查N(0,1）,可确定k=za/2，(双边检验）拒绝域形式为求法如

12、下：8.2 正态总体均值的假设检验(2) 检验因此，拒绝域的形式为选择检验函数因为（其分布未知）（说明Z的取值不应太大,发生的可能性较小）而（分布已知，但不是统计量）k kzk8.2 正态总体均值的假设检验但是由于Z的分布未知，无法直接求出临界值k.因此应借助 的分布来间接求出临界值k.有给定 ，可查N(0,1)表使8.2 正态总体均值的假设检验当H0成立时,从而所以右单边检验所以拒绝域为选择检验函数所以，拒绝域的形式为当H0成立时于是所以，拒绝域为（其分布未知）当H0成立时8.2 正态总体均值的假设检验因为给定 ，可查N(0,1)表使左单边检验8.2 正态总体均值的假设检验1、2、3、假设形

13、式假设形式拒绝域拒绝域检验函数检验函数双边检验双边检验右单边检验右单边检验左单边检验左单边检验已知时均值的 检验法归纳2. 2. 未知时均值的未知时均值的 检验检验当当 未知时，未知时， 已不再是统计量，不能作为检验函数已不再是统计量，不能作为检验函数此时可选用统计量：此时可选用统计量： 作为检验函数作为检验函数类似前面的讨论，在以假设下，其检验方法和拒绝域分别为：类似前面的讨论，在以假设下，其检验方法和拒绝域分别为：1、2、3、假设形式假设形式拒绝域拒绝域检验函数检验函数双边检验双边检验右单边检验右单边检验左单边检验左单边检验【例1】B 市某初级中学参加中考的数学成绩服从 分布，今从该中学参

14、加考试的学生中随机抽取46名，其数学平均分数为63分，已知B市中考的数学平均分数是68分，试问该校数学平均成绩与全市数学成绩有无差异？【解】(1)提出假设：故采用Z检验法双侧检验法因为 已知，给定查N（0,1）分布表由计算所以得到拒绝域所以拒绝H0，即有差异！(2)确定检验法：(3)查表，确定拒绝域：(4)计算Z的统计值，并作判断：8.2 正态总体均值的假设检验【例2】已知某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布 ，某日测得5炉铁水的含碳量如下：4.34 4.40 4.42 4.30 4.35若标准差不变，问该日铁水含碳量的均值是否显著降低？【解】因为 不变，现已知则对于给定的查N（0,1），得因此设

15、该日铁水含碳量 ，假设所以拒绝H0，即显著降低！即选用统计量（检验函数）：，其拒绝域为故采用Z检验法 单边检验法左8.2 正态总体均值的假设检验【例3】化工厂用自动包装机包装化肥，每包重量服从正态分布 ，额定重量为100公斤。某日开工后，为了确定包装机这天的工 作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得平均重量为99.978，均方 差为1.212，能否认为这天的包装机工作正常？（=0.1）【解】由题意可知：化肥重量XN(, 2), 0=100,方差未知，要求对均值进行检验,假设 H0：=100 VS H1：100构造T 统计量，得T 的0.1双侧分位数为 采用T 检验法。因为0.05451.86，接受原假设，即认为这天的包装机工作正常。而样本均值、均方差为 故T 统计量的观测值为 8.2 正态总体均值的假设检验【例4】 某种电子元件的寿命 X（以小时计）服从正态分