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1、南水北调的优化分配摘要本文从保障人民生活用水和经济发展的角度出发，在保障人民生活用水的前提下，把 2010 年的水资源分配问题归结为以经济效益为目标函数的线性规划问题，再以工业与服务业增长率的限制为约束条件，得出了主要用来改善经过京、津、冀、豫四省市沿线 20 个大中城市在生活用水、工业用水、综合服务业用水方面的分配比例，得到用水分配的最大经济效益为 19950 亿元关键词：线性规划；增长率；取水量1.问题的重述南水北调中线工程建成后，预计 2010 年的调水量为 110 亿立方米，主要用 来改善经过京、津、冀、豫四省市沿线 20 个大中城市的用水用水指标的分配 原则是：改善城市环境、促进经济
2、发展、提高用水效益和人民生活水平生活 用水、工业用水和综合服务业用水的分配比例分别为 40%、38%和 22%要从 保障人民生活用水和经济发展的角度，给出 2010 年的调水量的分配方案应注 意到，每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在 10 年 内无限增长，要适当照顾各城市经济发展的均衡2.模型假设1）认为这些城市 10 年内人口增长率不变; 2）不用地下水回填; 3）原有供水总量不变; 4）设题目中万元工业增加值用水量为万元工业增加值取水量; 5）水的分配比例为调水量的分配比例.3.符号约定，分别为城市 2000 年、2010 年人口总数；为城市 人口增长)0( iP)
3、1( iPiiPri率；，分别为城市 2000 年、2010 年工业增加值； 为城市 工业增加)0( iI)1( iIiiIri值年增长率；，分别为城市 2000 年、2010 年的综合服务业人均产值；为城)0( iS)1( iSiiSr市 综合服务业年增长率； i，分别为城市 2000 年、2010 年的人均生活用水量（未调水） ；)0( iX)1( iXiix 为城市 2010 年生活用水调水量；i，分别为城市 2000 年、2010 年的万元工业增加值用水量（未调水）)0( iY)1( iYi；iy为城市 2010 年工业调水量；i，分别为城市 2000 年、2010 年的万元综合服务业
4、用水量（未调)0( iZ)1( iZi水） ； iz 为城市 2010 年综合服务业调水量；i以上ix ，iy，iz 为未知量，其余为已知量或由已知量直接计算出的量4.4.问题问题分析4.1 生活用水生活用水保障人民生活用水,要求 2010 年人均生活用水量不比 2000 年的人均生活用水量少，即算得3.48 亿方水，而 2010 年的生 1)Pr1(10)0()0(iiiiPXxix活调水量为 44 亿方水随着城市化水平的提高等因素，城市总需水量将随着人 口总量的稳定而减缓增长速率但 44 亿方水较 3.48 亿大得多，故有足够的生 活用水量 4.2 工业用水工业用水 我国的工业用水总量正处
5、在一个慢速增长时期，同时工业增加值年年增长， 则万元工业取水量要下降我国的万元工业用水增加值取水量过高，约为发达 国家的 37 倍可以查得在十五规划中，到 2005 年全国平均万元工业增加值 取水量要达到 170 立方米，2010 年达到 120 立方米而发达国家达到 20 立方 米2010 年工业万元增加值取水量等于 2000 年的工业取水量除以 2010 年的预 计工业增加值（不考虑调水） ，即/，(I=1,2,3,20)由于到 2010 年万元工业增加)1( iY)0()0( iiIY)1 (10)0( iiIrI值取水量改变了，故原来 2000 年的分水量也要改变，工业用水总量为 20
6、00 年 的工业用水加上 2010 年调水量（110 亿方水）的 38% 4.34.3 综合服务业用水综合服务业用水 由于综合服务业用水与当地服务业资源有密切联系，其万元综合服务业用 水量不会有很大变化，故假设万元综合服务业增加值用水量不变5.模型的建立与求解5.1 生生活用水的分配：由于=3.48 亿方水，有足够的生活用水在保障 1)Pr1(10)0()0(iiiiPXx生活用水的前提下，可考虑按照 2000 年各城市生活用水的分配比例即4 . 0110201)0()0()0()0( iiiii i PXPXx由此可得 2010 年各城市生活用水的比例分配如下表（1）城市序号水指标（亿方米）
7、123456789102010 年生活用水调水量分配11.975.5580.5871.8230.8441.4442.9820.9531.5091.498城市序号水指标（亿方米）111213141516171819202010 年生活用水调水量分配0.7820.8401.1742.3102.8171.4531.6240.6330.9452.2545.25.2 工业用水和综合服务业用水的分配：由问题分析有 2010 年的万元工业增加值取水量为/)1( iY)0()0( iiIY)1 (10)0( iiIrI得 2010 年的万元工业增加值取水量表如下：（表 2）城市2010 年万元工业增 加值取水
8、量城市2010 年万元工业增 加值取水量15011842241274339137743014835431526657167373217818461881948198410952067 由于各城市的人口数量差异很大，各城市的生活、工业和综合服务业的用 水情况不同，相同的供水量所产生的经济效益也不同，从经济效益的角度出发， 求获得最高的经济效益时的调水量同时注意到，每个城市的工业和综合服务 业的发展受产业规模的限制，不可能在 10 年内无限增长，要适当照顾各城市经 济发展的均衡由此可知对每个城市的经济发展有上限和下限的约束2000 年工业用水总量为 66.17 亿方水可得以下的数学模型（其中决策变
9、量为，iy）：izmax + 201)1(/iiiYy 201)1(/iiiZzs.t.+66.17 （1）38. 0110201 iiy（2）22. 0110201 iiz（3）iy)10(%)171 (4)1(10)0(iiYI（4）)10()1000/Pr1 (%)151 (4)0()0()0(10)0()0(10)0(iiiiiiiZPSPSz（5）iy)10(%)1 (4)1(10 1)0(iiYI（6）)10()1000/Pr1 (%)1 (4)0()0()0(10)0()0(10 2)0(iiiiiiiZPSPSz， 0 (1,2,3，20) （7）iyiz i约束条件说明： 第
10、（1） （2）式是分水比例的约束； 第（3） （4）式是考虑到城市发展稳定性， 每个城市的工业增加值年发展速率%， 1每个城市的服务业人均产值发展速率%， 2,是在有解的情况下给出的，取=5%，=2%，1212这些发展率都是关于决策变量的函数其中是 2010 年的万元工业增加值用水量（未调水） ，由表（2）可得)1( iY是 2010 年的万元综合服务业用水量（未调水） ，与 2000 年的万元综合服务)1( iZ业用水量的值相同、的单位是（亿方水） iyiz这是一个线性规划模型，使用 MATLAB 中的 linprog 函数来求解,可得最优 值为 19950 亿元，其中工业用水获利 1896
11、7 亿元，综合服务业用水获利 983 亿 元可解得一个分水比例，但有些城市的工业用水在 2000 年时分配的比 2010 年 时还多，显然不满足各城市发展的均衡应考虑加上约束条件使得 2010 年比 2000 年工业用水增加量大于零即 （8）iy)10(4)0()0(iiYI加上这个数据之后，可解得 2010 年在工业用水和综合服务业用水的比例分配， 如下表（表）城市序号水指标（亿方米）123456789102010 年工业用水总量17.718.5253.6183.8659.9217.0147.1374.17916.632.0462000 工业用水总量10.545.3211.9692.5735
12、.2803.0723.9902.4769.0852.0462010 年比 2000 年工业用水增加量7.1743.2051.6501.2924.6413.9423.1471.7037.55102010 年综合服务12.883.0340.1380.1950.0560.0820.7340.4160.1080.128业调水量城市序号水指标（亿方米）111213141516171819202010 年工业用水总量0.7563.4502.6661.2063.8742.5272.1552.2261.6606.7952000 工业用水总量0.7561.6492.1321.2062.7281.5122.155
13、2.2261.6603.7982010 年比 2000 年工业用水增加量01.8010.53401.1461.0150003.002010 年综合服务业调水量0.0530.0300.8350.1763.7150.0720.8340.2100.4170.093虽然有些城市的在工业用水分配方面为零，但由于 2010 年万元工业增加值 用水量比 2000 年的减少了，这也是可以理解的6.6.模型的模型的分析和改进：模型在考虑“每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不 可能在 10 年内无限增长”和“要适当照顾各城市经济发展的均衡”时是以控制 发展率的角度来着手的，给出的分配中有些城市在工
14、业用水方面没有新增分水 量，多少会引起部分城市的不满但这样分水是可以理解的，由于科技的发展， 2010 年万元工业增加值用水量比 2000 年的减少了，工业的经济的发展率并没 有降低，这是从获得最大的经济效益的大局考虑出发的结果 也可以这样考虑，可限制各城市用于工业增加值和综合服务业的调水量在 2000 年平均值的 50%150%的范围内，这样给出了上下限的约束，使得分水尽 量均匀的同时也抑制了工业和服务业的无限制发展 模型给出了发展率的约束，但在 10 年内工业和综合服务业是如何发展的问 题并没有解决，可以建立一个动态规划模型得 10 年内发展的最优计划，但变量 将增多7.7.参考文献参考文
15、献1姜启源， 数学模型 （第三版） ，北京，高等教育出版社，2003 年 2韩中庚， 数学建模方法及其应用 ，北京，高等教育出版社，2005 年8.8.附录附录c= -0.02 -0.0417-0.0256-0.0333-0.0233-0.0175- 0.0313 -0.0217-0.0208-0.0105-0.0119-0.0135-0.013 - 0.012-0.0385-0.0137-0.0123-0.0123-0.0119-0.0149 -0.0028-0.0048-0.0041-0.0031-0.0054-0.0056- 0.0037 -0.0061-0.0043-0.0031-0.
16、0045-0.0057-0.0063 -0.004 -0.0061-0.0056-0.0065-0.0061-0.0068- 0.005;a= 1 1111111111111111111000000000000000000 00 0 0 0000000000000000 0011111111111111111 111; b=107.97 24.2; vlb= 6.00252.8891.2261 1.3096 3.3622.3769 2.4186 1.4162 5.6373 1.7022 0.4926 1.1692 1.3044 0.9058 1.3129 0.8561 1.5041 1.3986 1.1357 2
