回归分析的基本思想及其初步应用1

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1、3.1回归分析的基本思想及其初步 应用高二数学 选修1-2问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是 y = x2确定性关系 问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否有一个确定性的关系？ 例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455复习、变量之间的两种关系10 20 30 40 50500450400350300施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量y 330 345 365 405 4

2、45 450 455xy施化肥量水稻产量2、现实生活中存在着大量的相关关系。如：人的身高与年龄；如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；产品的成本与生产数量；商品的销售额与广告费；商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入。等等家庭的支出与收入。等等探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？10 20 30 40 50500450400350300发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。探索2：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直 线最能代表x与y之间的关系呢？施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455xy 散点图施化

3、肥量水稻产量1、所求直线方程叫做回归直线方程；相应的直线叫做回归直线。2、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。2、回归直线方程：最小二乘法：称为样本点的中心。自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。1、定义：1）：相关关系是一种不确定性关系；注对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。2）：例2、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间 的一组数据为：试建立Y与x的回归直线方程。价格x1416182022需求量Y1210753解：例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。 编号12345678 身高cm

4、 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图： 2、由散点图知道身高和体重有比较 好的线性相关关系，因此可以用线性 回归方程刻画它们之间的关系。分析：由于问题中 要求根据身高预报 体重，因此选取身 高为自变量，体重 为因变量2.回归方程：1. 散点图；本例中, r=0.7980.75这表明体重与身高有很强的线性相关关 系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的

5、。探究： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗 ？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是 60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于 60.316kg。即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm 的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均 体重的值。例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。 编号12345678 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172c

6、m的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图： 2、由散点图知道身高和体重有比较 好的线性相关关系，因此可以用线性 回归方程刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在 某一条直线的附近，而不是在一条 直线上，所以不能用一次函数 y=bx+a描述它们关系。我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e， (3)其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。统计中，我们把自变量x称为解释变量，因变量y 称为预报变量思考: 产生随机误差项e的原因是什么？随机误差e的来源(可以推广到一般）： 1、忽略了其它因素的影响：影响身高 y

7、的因素不只 是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生 长环境等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 y 的观测误差。以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合 效果越好。函数模型与回归模型之间的差别函数模型： 回归模型：函数模型与回归模型之间的差别 函数模型： 回归模型：线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和 随机误差项e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化。在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量。所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为思考： 如何刻画预报变量（体重）的变化？这个

8、变化在多大程度上 与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相 同。在体重不受任何变量影响的假设下，设8名女大学生的体重都是她们的平均值， 即8个人的体重都为54.5kg。54.554.554.554.554.554.554.554.5体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号54.5kg在散点图中，所有的点应该落在同一条 水平直线上，但是观测到的数据并非如 此。这就意味着预报变量（体重）的值 受解释变量（身高）或随机误差的影响。对回归模型进行统计检验59436164545

9、05748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号例如，编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为61kg。解释 变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg， 所以6.5kg是解释变量和随机误差的组合效应。编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为50kg。解释 变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg， 这时解释变量和随机误差的组合效应为-4.5kg。用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。数学上，把每个效应（观测

10、值减去总的平均值）的平方加起来，即用表示总的效应，称为总偏差平方和。在例1中，总偏差平方和为354。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有多少来自于解释变量（身高）？ 有多少来自于随机误差？假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图 中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归 直线上。这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上 “推”开了。在例1中，残差平方和约为128.361。因此，数据点和它在

11、回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应， 称 为残差。例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。表示为：由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为 128.361，所以解释变量的效应为解释变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）=解释变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）354-128.361=225.639这个值称为回归平方和。我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是离差平方和的分解（三个平方和的意义） 总偏

12、差平方和(SST) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离 差 回归平方和(SSR) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化 的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关 系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方 和 残差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响 ，也称为不可解释的平方和或剩余平方和样本决定系数（判定系数 R R2 2）1.回归平方和占总离差平方和的比例2. 2. 反映回归直线的拟合程度反映回归直线的拟合程度 3. 3. 取值范围在取值范围在 0 , 1 0 , 1 之间之间 4. 4. R R2 2 1 1，说明回归方程拟合的越好；说明回

13、归方程拟合的越好；R R2 20 0 ，说明回归方程拟合的越差说明回归方程拟合的越差 5. 5. 判定系数等于相关系数的平方，即判定系数等于相关系数的平方，即R R2 2( (r r) )2 2显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的 线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值 来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说： 相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。 在线

14、性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是1354总计0.36128.361残差变量0.64225.639随机误差比例平方和来源表1-3从表3-1中可以看出，解释变量对总效应约贡献了64%，即R2 0.64，可以叙述为 “身高解析了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关， 是否可以用回归模型来拟合数据。残差

15、分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始 数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。编编号12345678 身高cm165165157170175165155170 体重/kg4857505464614359 残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本 编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。残差图的制作及作用。 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以 横轴为心的带形区域； 对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为 的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数 据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较