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1、用心 爱心 专心1数列的题型与方法（文科）数列的题型与方法（文科）一、考点回顾一、考点回顾1数列的概念，数列的通项公式与递推关系式，等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质。2判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于 n2 的任意自然数,验证11(/)nnnnaaaa为同一常数。(2)通项公式法：若1(1)()nkaandank d，则 na为等差数列；若，则 na为等比数列；中项公式法：验证都成立。3在等差数列 na中,有关 S Sn n的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当10a ,d0 时，满足的项数 m 使得mS取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思
2、想的应用。4数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累积法、归纳猜想证明法等。5数列的综合应用：函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。6注意事项：证明数列 na是等差或等比数列常用定义，即通过证明11nnnnaaaa或11nnnn aa aa而得。在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。用心 爱心 专心2注意一些特殊数列的求和方法。注意ns与na之间关系的转化。如
3、：na=,11nnsss21 nn，na= nkkkaaa211)(数列的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力知识网络111111(2)(2)(1)(1)()22 ()nnnnnnmpqnnn naq naaa qaad naandnn nSaan
4、adaaaa mnpq 两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式 等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n nnnmpqaa qaqqqqSna qa aa amnpq 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和 数列裂项求和求和 倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他 用心 爱心 专心3二、经典例题剖析二、经典例题剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质考点一：等差、等比数列的概念与性质例题例题 1.1. （山东省滨州市
5、山东省滨州市 20072007 年高三第三次复习质量检测）年高三第三次复习质量检测）已知等比数列432,aaaan中分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且1,641qa公比（）求na；（）设nnab2log，求数列.|nnTnb项和的前解析：解析：（I）依题意032),(32244342aaaaaaa即03213 13 1qaqaqa21101322qqqq或211qq1)21(64n na故（II）nbnn n72log)21(64log7 21 2 7777|nnnnbnnnnnTbnn)13( 2)76(, 6| ,71时当2)7)(6(212)7)(71 (, 1|
6、,778nnnnTTbnn时当 )7(212)7)(6()7(2)13(nnnnnnTn点评：点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。例题例题 2.2. （20072007 年湖南省长郡中学第二次月考）年湖南省长郡中学第二次月考）设数列 na的前 n 项和为 Sn，若 nS是首项为 1，各项均为正数且公比为 q 的等比数列.（1）求数列 na的通项公式na；（2）试比较212()nnnaaanN与的大小，并证明你的结论.解析：解析：（） nS是各项均为正数的等比数列.用心 爱心 专心4个个1(0)n nSqq. 当 n=1 时，a1=1， 当2 12,(1)
7、.n nnnnaSSqq 时 21(1)(1)(2)nnnaqqn。（）当 n=1 时，2 132111312(1)2(1)()0.24aaaSS qqS qq2312aaa当1 112 112) 1(2) 1() 1(2,2 nnn nnnqqSqqSqqSaaan时32(1)nqq20,0.nqq当 q=1 时，.2, 0) 1(123 nnnaaaq当,10时 q.2, 0) 1(123 nnnaaaq当,1时q.2, 0) 1(123 nnnaaaq综上可知： 当 n=1 时，2312aaa当;2, 1,212nnnaaaqn则若时 若;2, 1012nnnaaaq则 若.2, 112
8、nnnaaaq则点评点评：本题考查了等比数列的基本知识，还要注意分类讨论。考点二：求数列的通项与求和考点二：求数列的通项与求和例题例题 3.3. （20072007 年年 5 5 月湖北省十一校）月湖北省十一校）.已知数列na中各项为：12、1122、111222、111n 222n （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前 n 项之和 Sn . 解析：解析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。答案：（1）12(101) 10(101)99nnn na 1(101) (102)9nn101101() (1)33nn 用心 爱心 专心5
9、记：A =101 3n, 则 A=333n 为整数 na= A (A+1) ， 得证 (2) 21121010999nn na 2422112(101010 )(10 1010 )999nn nSn 2211(1011 10198210)891nnn点评点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。例题例题 4.4. ( (云南省云南省 20072007 年第一次高中毕业生复习统一检测年第一次高中毕业生复习统一检测) ) 已知nS是数列na的前n项和，并且1a=1，对任意正整数n，241nnaS；设, 3 , 2 , 1(2
10、1naabnnn）.（I）证明数列nb是等比数列，并求nb的通项公式；（II）设loglog1,32212nnnn nCCTbC为数列的前 n 项和，求nT.解析：解析：（I）),2(24, 2411naSaSnnnn两式相减：),2(4411naaannn*),(2)2(2,2)(42,2),2)(41111121111 Nnbaabaaaaabaabnaaannnnnnnnnnnnnnnn , 21nn bbnb是以 2 为公比的等比数列，, 325, 523, 24,2112121121baaaaaaab而*)(231Nnbn n（II）,231nn nbC,) 1(1 2log2log
11、1 loglog11 222212 nnCCnn nn个用心 爱心 专心6而,111 ) 1(1 nnnn.111)111()41 31()31 21()211 (nnnTn 点评点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列 na的通项na，第二问求和用到裂项的办法求和。考点三：数列与不等式的联系考点三：数列与不等式的联系例题例题 5.5.（20072007 年年 5 5 月莆田四中）月莆田四中）已知为锐角，且12tan，函数)42sin(2tan)(2xxxf，数列an的首项)(,2111nnafaa. 求函数)(xf的表达式； 求证：nnaa1； 求证：),2(211 1
12、1 111*21Nnnaaan解析解析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。答案：解：1) 12(1) 12(2 tan1tan22tan22 又为锐角42 1)42sin( xxxf2)( nnnaaa2 1211a naaa,32都大于 002na nnaa1 nnnnnnnaaaaaaa111 )1 (1112 1111 11nnnaaa1322121111111 11 11 11nnnaaaaaaaaa1111211nnaaa43 21)21(2 2a, 143)43(2 3a , 又nn
13、aan12用心 爱心 专心7131aan 21211na211 11 11121naaa点评点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式所给的式子更具有一般性。例题例题 6.6.（东城区东城区 20072007 年检测）年检测）已知数列 nx满足,21 43. 1,211* 1 nnnnnxaxNnxx设且且.2) 12(322123212nnnnaanaaaT（）求nx的表达式；（）求nT2；（）若)() 12(131* 2NnnnQn，试比较nnQT 与29的大小，并说明理由.解析解析：（I）,)21(1n nnxx12123121)21()21()21(1)()()(nnnnxxxxxxxx)21(1)21(1 121 31 32 n当1n时上式也成立，).(21 31 32*1 Nnxnn （）.21 21 41 21 4311 nn
