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1、主讲:郭德超 知 识 点 复 习 区别归纳法和数学归纳法 数学归纳法原理是什么? 如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件(1) p(n0)成立,即当n=n0(例如 n0=1)时,命题成立;(2) 假设p(k)成立,则p(k+1)也成立;根据(1)(2)知p(n)成立 用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步 骤是怎样的?知 识 点 复 习 4.对数学归纳法实质的理解例.下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么(1).当n=1时,左边= , 右边= (2).假设n=k时命题成立 即那么n=k+1时,左边=右边,即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知
2、,对一切自然数,命题均正确. 知 识 点 复 习 对数学归纳法实质的理解数学归纳法证题的这两个步骤,第一个步骤是 命题递推的基础,第二个步骤是命题推理的根 据,二者缺一不可.其中第二步是数学归纳法的 核心,在从n =k到n =k+1的递推过程中,必须要 运用归纳假设,这是数学归纳法证题的本质特 征.如若在此过程中,没有运用归纳假设,不论 形式上多么相似,也不能称此证明方法为数学 归纳法.由于数学归纳法包含两个步骤一个结 论,故最后应完整地写出结论.数 学 小 常 识 德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象 ：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,他 猜想这个命题是正确的,但他本人
3、无法给予证明.1742 年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学 家欧拉,欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明 任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉 对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论 是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出： “任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不 能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这 就是著名的哥德巴赫猜想.专项训练(归纳猜测)一.归纳、猜测： 如图，把边长为1的正方形看作第一层壳， 其面积为s1，在它外面再镶上面积为s2 的第 二层外壳，使之构成边长为1+2的正方形， 再镶上为 s3的第三层外壳，使之构成边长
4、为 1+2+3的正方形，依次下去，试猜测第n层 外壳的面积s解:s1=1s2=(1+2)21=8s3=(1+2+3)29=27s4=(1+2+3+4)236=64sn=(1+2+n)2(n1)2=n3专项训练(归纳猜测) 13=1 13+23=9 13+23+33=36 13+23+33+43=100 试猜测： 13+23+33+43+ +n3= (1+2+3+n)2=12=(1+2)2 =(1+2+3)2=(1+2+3+4)2专项训练(归纳猜测) 古希腊学者用圆球堆成大大小小的一系列等边三角形 ：每一堆球数依次为1，3，6，这种数叫做“三角形 数”或简称“三角数”。著名的几何学家毕达哥拉斯曾
5、对 三角数作过专门的研究，并获得丰硕的成果，如果用tn 表示第n个三角数，则由上图可知t1=1,t2=3,t3=6, (1)求t2 t1,t3t2,t4t3的值，并猜测tntn1值。(2)求t1 t2,t2t3,t3t4的值，并猜测tn1tn值。 解: (1)t2t1=2; t3t2=3; t4t3=4; tntn1=n(2) t1t2=4; t2t3=9; t3t4=16; tn1tn=n2专项训练(对命题的理解)解 析:令f(n)=（n1) (n2) （nn）f(k)= (k1) (k2) (kk)f(k1)=(k1) 1 (k1) 2 (k1) (k1) =(k2) (k3) (kk)
6、(2k1) (2k2)f(k1) f(k)=(2k1) (2k2) (k1)=3k2用数学归纳法证明命题：(n1)（n2) (nn)=2n13（2n1)的第二步中，n=k1时需证： 解析: (k1) 1 (k1) 2 (k1) (k1)=2k1132(k1) 1 即: (k2) (k3) (kk) (2k1) (2k2)= 2k113 2k1用数学归纳法证明（n1) (n2) （nn）=的第二步中，n=k1时的等式左边与n=k时的等式左边的差等于专 项 训 练 kk+1 P(k)与p(k+1)的进和退在数学归纳法的第二步归纳推理中 ，由p(k) p(k+1)的过渡，有两 种基本途径可寻:一、由
7、p(k)向p(k+1)推证二、由p(k+1)倒退专 项 训 练kk+1证明： （1）当n=1时，命题显然成立。(2)假设当n=k 时,命题成立,即(k1) （k2) (kk)=2k13（2k1) 当n=k+1时,待证:(k2)（k3) 2k(2k+1)(2k+2)=2(k+1)13（2k1)(2k+1) 据途径一:由p(k)出发，直接构造p(k+1)形式。整理得： (k2) （k3) 2k (2k+1)(2k+2）=2 2k13（2k1)（2k+1)= 2(k+1)13（2k1)(2k+1) 即：n=k+1时，命题成立。 由(1)(2)知,命题成立(k1)（k2)(kk) =2k13（2k1)例.用数学归纳法证明命题：(n1) （n2) (nn)=2n13（2n1) 专 项 训 练 kk+1 解析：(2)假设n=k时命题成立.即:5 k2k 被3整 除.当n=k+1时5k+12k+1=55k22k =5(5 k2k) 52k22k=5(5 k2k) 32k5(5 k2k) 32k例.用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的 第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设， 应将5k+12k+1变形为 小结 什么叫数学归纳法 归纳、猜测、证明是发现和研究数学 问题的重要思想方法。 掌握用数学归纳法证明命题的关键。
