刚体的定轴转动

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1、第五章 刚体的定轴转动5.1 刚体的运动 5.2 刚体定轴转动定律 5.3 转动惯量的计算 5.4 刚体定轴转动定律的应用 5.5 转动中的功和能 5.6 刚体的角动量和角动量守恒定律5.7 进动 5.1 刚体的运动 刚体（rigid body）：特殊的质点系，形状和体积不变化，理想化的模型。平动和转动，可以描 述所有质元（质点） 的运动。平动（translation ）时，刚体上所有 点运动都相同。刚体质点间的相对运 动只能是绕某一轴转 动（rotation）的结果 。ooo oP点线速度P点线加速度旋转加速度 向轴加速度瞬时轴vrrP基点O刚体刚体绕O的转动其转轴是 可以改变的，反映顺时轴

2、 的方向及转动快慢，引入 角速度矢量 和角加速 度矢量定轴转动（rotation about affixed axis）： 退化为代数量， 刚体上任意点都绕同 一轴作圆周运动，且 ， 都相同。OvP,rr定轴刚体参考方向z5.2 刚体的定轴转动定律 类似于多质点系Jz称为刚体对 z 轴的转动惯量rotationalinertiaiviO,riri定轴刚体zFimi转动定律其中是对 z 轴的外力矩和。定轴下，可不写角标 Z，记作：与牛II比较：MF Jm a MJ=MJ 与地位相当m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性1、与转动惯量有关的因素：刚体的质量转轴的位置刚体的形状实质与转动惯量有关

3、的只有前 两个因素。形状即质量分布， 与转轴的位置结合决定转轴到 每个质元的矢径。5.3 转动惯量的计算 J由质量对轴的分布决定。dmrm若质量连续分布在（SI）中，J 的单位：kgm2 量纲：ML2 dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、分 别为质量的线密 度、面密度和体 密度。线分布面分布体分布例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。RO解：J是可加的，所以若为 薄圆筒（不计厚度） 结果相同。 例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆 盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解：取半径为r宽为dr的薄

4、圆环, lORrdrdm可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对 其轴的转动惯量也是mR2/2。 例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不 同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，dm=dx2、平行轴定理 前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量 ， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两 轴平行，相距L/2。可见：推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴 平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J， 则有：JJCmd2。这个结论称为平行轴定理 。右图所示刚体对经 过棒端且与棒垂直 的轴的转动惯量如 何计算？(棒长为L 、圆半径为R）3. 对薄平板刚体的正交轴定理Jm rm xm

5、yziiiiii=+222例：已知圆盘JmRz=122求对圆盘的一条直径的Jx （或 J y）。由JJJJJJJmRzyxxyxy=+= =1 42即JJJxy=+yrixzyiximiyxz圆盘RCm已知： R =0.2 m，m =1kg，vo=0，h =1.5 m，绳轮无相对滑动，绳 不可伸长，下落时间t =3 s。 求：轮对O 轴 J=？解：动力学关系：对轮：TRJ=(1), 对：mmg T ma- =(2)5.4 转动定律应用举例 定轴ORthmv0=0绳TGRNmgT = - T ma运动学关系：=a R(3)hat=1 22(4)(1)(4)联立解得：Jgt hmR=-()22 2

6、1= - =(. .)983 2151102114222kg m分析：单位对；、一定，合理；若，得，正确。1230122.hmJtJhgt =例2、一个飞轮的质量为69kg，半 径为0.25m,正在以每分1000转的转 速转动。现在要制动飞轮，要求在 5.0秒内使它均匀减速而最后停下 来。求闸瓦对轮子的压力N为多大 ？F0解：飞轮制动时有角加速度外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。0Nfr例3、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一 固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最 初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度 和角速度。解：棒下摆为加速过程 ，外力矩为重力对O的力 矩。

7、 棒上取质元dm,当棒 处在下摆角时，重力矩 为：XOdmgdmx重力对整个棒的合力矩与 全部重力集中作用在质心 所产生的力矩一样。mgCdmgXOdmxcWF sinrF r sinM= ()WF s=WMiii= 力矩的空间积累效应5.5 定轴转动中的功能关系 二. 定轴转动动能定理MdL dtJd dtzz z外= 类比一维情形：Fmdvdt=d dtvds dtWJJ1222121212=-一. 力矩的功J m dzx 轴rF合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于 刚体的转动动能的增量。上式即为：这个结论称为定轴转动的动能定理。令转动动能EJk=122（可证：）121222Jm

8、vi i= 则 WEEkk=-21应用： 飞轮储能，Ek2Ek惯性电车。三. 定轴转动的功原理质点系功能原理对刚体仍成立：W外+ W内非=（Ek2+Ep2） （Ek1+ Ep1）刚体重力势能：若dW外+ dW内非=0，则Ek +Ep =常量。Emghmgmh m mghpiiiic= ChchimiEp=0例已知：均匀直杆m，长为l，初始水平静止，轴光滑，AOl=4。求 : 杆下摆角后，角速度=?轴对杆作用力v N=?解：杆 地球系统，+只有重力作功，E 守恒。初始：，Ek10= 令 EP10=末态：EJko2212=,EmglP24= -sin则：1 2402Jmgl o-=sin(1)由平

9、行轴定理JJmdoc=+2=+=1 1247 48222mlmlml( )(2)由(1)、(2)得： = 26 7g lsin应用质心运动定理：vvvNmgmac+=$sinlmgNmalcl方向：-+= (3) $costmgNmatct方向： +=(4)algcl=46 72sin(5)allmgJctlo= 444cos =37g cos(6)由(3)(4)(5)(6)可解得：Nmgl=137sin,Nmgt= -4 7cosvNmglmgt=-13747sin$cos$Nmg=+7153162sin=-tgNNtgctgtl11413|()5.6 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定

10、律现在讨论力矩对时间的积累效应。质点系：对点：vv MdLdt外=，vrvMtLLiii外=- 21对轴：MtLLziiizz外=-21刚体：Lz =Jz =- iMtJJziizz外21刚体定轴转动的角动量定理当 M外z=0 时，Jz =const .大小不变正、负不变 若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动， 当Mz外=0 时，Jconst. izi=，这时角动量可在内部传递。例如图示已知：M=2m，h，=60求：碰撞后瞬间盘的0=？P转到x轴时盘的=? =?解： m下落：mghmv=1 22vgh= 2(1)碰撞 t 极小，对 m +盘系统，冲力远大于重力，故重力对 O力矩可忽略，角动量守

11、恒：mvRJocos=(2)JMRmRmR=+=1 22222(3)由 (1)(2)(3) 得：ogh R=2 2cos (4)对 m + M +地球系统，只有重力做功， E守恒，则：P、 x 重合时EP=0 。令1 mgRJJosin+=12222(5)由(3)(4)(5)得：=+ghRgR222cossin=+12243 RghR.()()=60o=MJmgRmRgR2225.7 旋进（进动，Precession）旋进：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴转动的现象。定轴转动地球转轴的旋进：非球效应，进动周期25800年，岁差 （地球绕太阳一周：恒星年，春夏秋冬一轮回：太阳年）20 分33秒

12、;前汉，刘，观察到; 祖冲之，引入农历闰月;3000年前，周，北极是b，现 ，12000年后，织女星。自转轴在旋进时还会出现，微小的上 下的周期摆动，这种运动叫章动 (nutation)。例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射 入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失 3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l, 质量为M.v0vmM解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹有:子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为 ：因, 由两式得v0vmM请问:子弹和棒的总动量守恒吗? 为什么?总角动量守恒吗?若守恒,其方程 应如何写?例2 如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同 一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自 然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态 下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆 下端达到的高度h。c hchh=3h0/2bamlhol解:碰撞前单摆摆锤的速度为令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v。 由角动量守恒，有在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:二式联立解得：按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为而杆的质心达到的高度满足由此得作业：课本第284页 2、8、15、22、25 。