《数值分析11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析11（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 边值问题数值解算例 对称正定矩阵的收敛性 超松驰迭代算法 分块矩阵的块迭代数值分析 11例1 常微分方程边值问题 在x1=0.1, x2=0.2,x9=0.9 处的数值解解: 令 h = 0.1, 记 yj=y(xj) ( j = 1,2,9),将代入微分方程,整理得 yj-1 + (2 h2) yj yj+1 = xj h2 ( j= 1,2,9) 2/18yj = xj h2 + yj-1 + yj+1/ (2 h2) , ( j= 1,2,9) yj-1 + (2 h2) yj yj+1 = xj h2 高斯-赛德尔迭代格式:3/18程序 h=0.1;x=0:h:1; y=zeros(
2、size(x); r1=h*h;r=2-r1; er=1;k=0; while e0.0001er=0;for j=2:10s=(y(j-1)+y(j+1) + r1*x(j)/r;er=max(er,abs(s-y(j);y(j)=s;endk=k+1 end准确解: y(x)=sin x/sin 1 - x- y(x) o yj4/18正方形区域上第一边值问题 准确解 :O1x1y5/18取正整数n,记 对区域做网格剖分: xi = i h ( i = 0，1，n+1 ) yj = j h ( j = 0，1，n+1)在点(xi，yj ) 处记 uij = u(xi ,yj) ,五点差分格
3、式整理6/18边界条件:u0, j = 0 (j = 1, , n);un, j = ( j = 1, , n);ui,0 = 0 ( i = 1, , n);ui,n = 0 ( i = 1, , n) 结点数n2 102 202 402迭代次数 91 303 978CPU时间(s) 0.14 1.843 24.6720误差 0.0028 5.6995e-4 6.6671e-4高斯-赛德尔迭代法实验:7/18定理4.4 方程组 Ax=b中, 若A是实对称正定矩 阵,则Gauss-Seidel迭法收敛证明: 由 A = D L LT BG-S = (D L)-1LT设为BG-S的任一特征值,
4、x为其特征向量,则(D L)-1LT x =x LT x =(D L)x A正定,故 p = xTDx0, 记 xTLTx = a , 则有xTLTx =xT(D L)xxTAx=xT(D L LT)x=p a a =p 2a 08/18所以, 迭代矩阵BG-S的谱半径(BG-S) 0.0005er=0;k=k+1;for i=1:3s=0;t=x(i);x(i)=0;for j=1:3s=s+A(i,j)*x(j);endx(i)=(1-w)*t+w*(b(i)-s)/A(i,i);er=max(abs(x(i)-t),er);end end kk=10 x= 1.1999 1.39991.
5、5999 =1.2,只需k=612/18块迭代法简介设 ARnn, xRn, bRn将方程组A x = b中系数矩阵A分块其中, AiiRnini, AijRninj , xiRni, biRni13/18将A分解, A = DB LB UB (1)Jacobi块迭代 (2) DB X(k+1) = (LB + UB)X(k) + bi=1,2, r(2)Gauss-Seidel块迭代DB X(k+1) = LB X(k+1)+ UBX(k) + bi=1,2, r14/18块迭代求解X1 = x1 x2 x3TX2 = x4 x5 x6Tb1 = 0 5 0Tb2 = 6 2 6TDX1 X2 = b1X1+ DX2=b2DX1(k+1)= b1+X2(k)DX2(k+1)=b2 + X1(k)15/18( i,j = 1,n )边值问题:( i,j = 1,n ; k = 1,2,3, ）保留三对角块16/18取正整数n, h=1/(n+1) 离散点 xi = i h yj = j h zm = m h(i, j, m = 0,1,n+1)用七点差分格式计算求解，用slice命令绘四维图17/18高斯-赛德尔迭代法18/18
