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1、13.5 数学归纳法要点梳理1.归纳法由一系列有限的特殊事例得出 的推理方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为 归纳法和归纳法.一般结论完全不完全基础知识 自主学习2.数学归纳法(1)数学归纳法：设Pn是一个与正整数相关的命题集合，如果证明起始命题P1（或P0) 成立；在假设Pk成立的前提下，推出Pk+1也成立，那么可以断定Pn对一切正整数成立. (2)数学归纳法证题的步骤(归纳奠基)证明当n取第一个值 时,命题成立.(归纳递推）假设 (kn0,kN+)时命题成立，证明当 时命题也成立.只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.n=n0n=k
2、n=k+1基础础自测测1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+an+1(a1)”在验证n=1时，左端计算所得的项为( )A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3C2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一 步检验第一个值n0等于( )A.1 B.2 C.3 D.0解析 边数最少的凸n边形是三角形.C3.如果命题p(n)对n=k成立，则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2成立，则下列结论正确的是( )A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立解析 归纳奠基是：n=2成立.归纳递推是
3、：n=k成立，则对n=k+2成立.p（n）对所有正偶数n都成立.B4.某个命题与自然数n有关，若n=k(kN+)时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得( )A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立解析 方法一 由n=k(kN+)成立,可推得当n=k+1时该命题也成立.因而若n=4成立，必有n=5成立.现知n=5不成立，所以n=4一定不成立.方法二 其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立，则当n=k时也不成立”为真，故“n=5时不成立” “n=4时不成立”.C5.用数学归纳法证明1+2
4、+3+n2= ,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( )A.k2+1 B.（k+1）2C.D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2解析 当n=k时，左边=1+2+3+k2，当n=k+1时，左边=1+2+3+k2+（k2+1）+（k+1）2，当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2.C题型一 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明:对任意的nN+,用数学归纳归纳 法证证明的步骤为骤为 ：归纳归纳奠基：验证验证 当n=1时结论时结论 成立；归纳递归纳递 推：假设设当n=k（kN+）时时成立，推出当n=k+1时结论时结论
5、也成立.题型分类 深度剖析证证明 所以等式成立.(2)假设当n=k(kN+)时等式成立,即有所以当n=k+1时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切nN+等式都成立.用数学归纳归纳 法证证明与正整数有关的一些等式时时，关键键在于“先看项项”，弄清等式两边边的构成规规律，等式的两边边各有多少项项，项项的多少与n的取值值是否有关，由n=k到n=k+1时时等式的两边变边变化的项项，然后正确写出归纳证归纳证 明的步骤骤，使问题问题得以证证明.知能迁移1 用数学归纳法证明：证证明 （1）当n=1时，等式左边等式右边 所以等式成立.（2）假设n=k（kN+）时等式成立，那么当n=k+1时，即n=k+1时
6、等式成立.由（1）（2）可知，对任意nN+等式均成立.题型二 用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1 (nN+）能被a2+a+1整除.解 （1）当n=1时，a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除.（2）假设n=k(kN+)时，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，验证验证 n=1时时命题题是否成 立 假设设n=k时时命题题成 立推证证n=k+1时时命题题成立得结结论论则当n=k+1时，ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1=aak+1+(
7、a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1,由假设可知aak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，(a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除，ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除，即n=k+1时命题也成立，对任意nN+原命题成立.证证明整除问题问题 的关键键是“凑项项”，而采用增项项、减项项、拆项项和因式分解等手段，凑出n=k时时的情形，从而利用归纳归纳 假设设使问题获证问题获证 .知能迁移2 求证：（3n+1）7n-1 (nN+)能被9整除.证证明 (1)当n=1时,(3n+1)7n-1=27能被9整除.(2)假设n=k (kN+)时命题成立，即
8、(3k+1)7k-1能被9整除，那么n=k+1时：3(k+1)+17k+1-1=(3k+1)+3(1+6)7k-1=(3k+1)7k-1+(3k+1)67k+217k=(3k+1)7k-1+3k67k+(6+21)7k.以上三项均能被9整除.则由（1）（2）可知，命题对任意nN+都成立.题型三 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式均成立.应应注意到题题目条件，第一步应验证应验证n=2时时不等式成立.证证明 （1）当n=2时，左边左边右边，不等式成立.（2）假设n=k (k2,且kN+)时不等式成立，则当n=k+1时，当n=k+1时，不等式也成立.由（1）（2）
9、知，对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.在由n=k到n=k+1的推证过证过 程中，应应用放缩缩技巧，使问题问题 得以简简化.用数学归纳归纳 法证证明不等式问题时问题时 ，从n=k到n=k+1的推证过证过 程中，证证明不等式的常用方法有比较较法、分析法、综综合法、放缩缩法等.知能迁移3 已知函数f(x)=x-sin x,数列an满足:00,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在0，1上连续，从而f(0)0成立.于是g(an)0,即题型四 归纳、猜想、证明（12分）已知等差数列an的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列bn的前n项和为Tn，且（1）求数列
10、an、bn的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，试比较 与Sn+1的大小，并说明理由.(1)由a2、a5是方程的根，求出an，再由 求出bn.(2)先猜想 与Sn+1的大小关系，再用数学归纳归纳法证证明.解 又an的公差大于0，a5a2,a2=3,a5=9.5分6分下面用数学归纳法证明：当n=4时，已证.9分=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1,11分12分（1）归纳归纳 猜想证证明是高考重点考查查的内容之一，此类问题类问题 可分为归纳为归纳 性问题问题 和存在性问题问题 ，本例中归纳归纳 性问题问题 需要从特殊情况入手，通过观过观 察、分析、归纳归
11、纳 、猜想，探索出一般规规律.（2）数列是定义义在N+上的函数，这这与数学归纳归纳 法运用的范围围是一致的，并且数列的递递推公式与归归纳纳原理实质实质 上是一致的，数列中有不少问题问题 常用数学归纳归纳 法解决.知能迁移4 如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、Pn（xn，yn）（01)”时，由n=k(k1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 ( )A.2k-1 B.2k-1C.2k D.2k+1解析 增加的项数为（2k+1-1）-(2k-1)=2k+1-2k=2k.C3.对于不等式 (nN+)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n=1时， 不等式成立.（2）
12、假设当n=k(kN+)时，不等式成立，即 则当n=k+1时，所以当n=k+1时，不等式成立，则上述证法( )A.过程全部正确 B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析 在n=k+1时，没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.D4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN+)能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开( )A.(k+3)3 B.(k+2)3C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3解析 假设当n=k时，原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除. 当n=k+1时,(k+1)3+(k+2
13、)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k+3)3展开，让其出现k3即可.A5.证明 当n=2时，左边式子等于 ( )A.1 B.C. D.解析 当n=2时，左边的式子为D6.用数学归纳法证明不等式(n2,nN+)的过程中，由n=k递推到n=k+1时不等式左边 ( )A.增加了一项B.增加了两项C.增加了B中两项但减少了一项D.以上各种情况均不对解析答案 C二、填空题7.若f(n)=12+22+32+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的递推关系式是 .解析 f(k)=12+22+(2k)2，f(k+1)=12+22+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，f(k+1)=f(k)
14、+(2k+1)2+(2k+2)2.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)28.用数学归纳法证明 (nN,且n1),第一步要证的不等式是 .解析 n=2时，左边9.已知整数对的序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4)，则第60个数对是 .解析 本题规律：2=1+1；3=1+2=2+1；4=1+3=2+2=3+1；5=1+4=2+3=3+2=4+1；一个整数n所拥有数对为(n-1)对.设1+2+3+(n-1)=60,n=11时还多5对数，且这5对数和都为12，12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，第60个数对为（5，7）.(5,7)三、解答题10.已知数列an中， (nN+).证明：0anan+11.证证明 (1)n=1时，0a1a21,故结论成立.(2)假设n=k（kN+）时结论成立，即0akak+11,即0ak+1ak+21,也就是说n=k+1时，结论也成立.由(1)(2)可知，对一切nN+均有0anan+11.11.用
