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1、第二部分第四课时：三角函数与圆 思想方法提炼 感悟、渗透、应用 课时训练 思想方法提炼三角函数是与角密切相关的函数，而圆中常会出 现与角有关的求解问题，尤其会出现一些非特殊角求 其三角函数值的问题，或已知三角函数值求圆中的有 关线段长等问题.三角函数与圆的综合应用也是中考 中的热点问题之一. 感悟、渗透、应用【例1】如图图所示，已知AB为为O的直径，C为为AB延长线长线 上 的点，以OC为为直径的圆圆交O于D，连结连结 AD，BD，CD. (1)求证证：CD是O的切线线； (2)若AB=BC=2，求tan A的值值.【解析】 (1)证证CDO=90即可，理由OC为圆为圆 的直径. (2)利用B
2、CDDCA得到BD8DA的比值值解：(1)连结连结 OD，OC为为直径 CDO=90 又OD为为O的半径CD是O的切线线(2)由切割线线定理有：CD2=CBCA=8CD=22 BDC=A，BCD=DCABCDDCA =AB是O的直径ADB=90tan A=【例2】(2004年甘肃省)已知：如图，四边形ABCD内接 于O，AB是O的直径，CE切O于C，AECE, 交O于 D. (1)求证：DC=BC； (2)若DC:AB=3:5,求sinCAD的值. 证明： 连接BD.AB是O的直径,ADB=90.又AEC=90. BD/EC.ECD=BDC.BC=CD 又CAD=CAB sinCAD=sinC
3、AB=BC/AB=DC/AB=3/5.【例3】(2003年湖北省黄冈市)已知：如图Z4-3，C为 半圆上一点，AC=CE，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足 ，弦AE分别交PC，CB于点D，F， (1)求证：AD=CD； (2)若DF=5/4，tan ECB=3/4，求PB的长.【分析】 (1)证ACD为等腰三角形即可得. (2)先证明 CD=AD=FD，在RtADP中再利用勾股定理及tan DAP=tan ECB=3/4，求出DP、PA、CP，最后利用 APCCPB求PB的长.解：(1)连结ACAC=CECEA=CAE CEA=CBACBA=CAE AB是直径ACB=90 CPABCBA=
4、ACP CAE=ACPAD=CD (2)ACB=90CAE=ACP DCF=CFDAD=CD=DF=5/4 ECB=DAP，tan ECB=3/4 tan DAP=DPPA=3/4 DP2+PA2=DA2 DP=3/4PA=1CP=2 ACB=90，CPAB APCCPB PB=4【例4】(2003年河南省)已知如图所示，在半径为4的 O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交 O于点E，且EMMC，连结DE，DE= . (1)求EM的长； (2)求sin EOB的值.【分析】 (1)用勾股定理求EC长，再用相交弦定理求EM的长. (2)构造RtEOF，利用三角函数求正弦值.解
5、：(1)DC为O的直径DEEC DC=8，DE= EC= =7 设EM=x，由于M为OB的中点BM=2，AM=6 AMMB=x(7-x) 即62=x(7-x)，x2-7x+12=0 x1=3，x2=4EMMCEM=4 (2)OE=EM=4OEM为等腰三角形 过E作EFOM，垂足为F，则OF=1 EF=sin EOB=【例5】(2003年河南省)已知：如图所示，AB是O的直 径，O为圆心，AB=20，DP与O相切于点D，DPPB，垂足 为P，PB与O交于点C，PD=8 (1)求BC的长； (2)连结DC，求tan PCD的值； (3)以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求直线BD的解析
6、式.【解析】 (1)过O作OEBC，垂足为E，则BE=EC，连结OD，则ODDP 又DPPB，四边形OEPD为矩形 OE=PD=8 OB=1/2*AB=1/220=10 在RtOEB中，EB2=OB2-OE2=102-82=36 EB=6，BC=2EB=12(2)PB=PE+EB=DO+EB=16 PC=PB-BC=16-12=4 在RtPCD中， DP=8， PC=4 tan PCD=PD/PC= =21.如图所示，C是O外一点，由C作O的两条切线，切点 为B、D，BO的延长线交O于E，交CD的延长线于A，若 AE=2，AB=23 求：(1)BE的长；(2)sin A的值. 解： (1)BE
7、=AB-AE=2(3-1) (2)连OD，则OD=3-1 CD为O的切线ODCDsin A= 课时训练3.ABC中，AB=10，外接圆O的面积为25，sin A，sin B是方程(m+5)x2-(2m-5)x+12=0的个两根，其中m-5. (1)求m的值；(2)求ABC的内切圆的半径.解(1)设O的内切圆的半径为r，O的半径为R R2=25R=5 因O的内接ABC的边AB=10=2R AB是O的直径，且ACB90，则ABC是直角三角形，从而 A+B=90，故sin B=cos A因sin A、sin B是一元二次方程 (m+5)x2-(2m-5)x+12=0的两个根，故2-2得(sin A+
8、cos A)2-2sin Acos A 消去sin A和cos A，得m2-18m-40=0 解之得m=20或m=-2(2)当m=20时， 方程化为：25x2-35x+12=0 解之得 x=3/5，x=4/5 则sin A=3/5，sin B=45或sin A=4/5，sin B=3/5 即： AC=ABsin B=104/5=8 BC=ABsin A=103/5=6或AC=6，BC=8 于是内切圆半径r=1/2(a+b-c)= 1/2(8+6-10)=2 当m=-2时，方程化为x2+3x+4=0 此方程无实根 m=-2应舍去 m=20，r=2 4.如图所示，抛物线y=ax2-3x+c交x轴正
9、方向于A、B两点 ，交y轴正方向于C点，过A、B、C三点作D，若D与y轴 相切. (1)求a、c满足的关系式； (2)设ACB=，求tan ； (3)设抛物线顶点为P，判断直线PA与D的位置关系，并 证明. 解：(1)A、B的横坐标是方程ax2-3x+c=0 的两根，设为x1，x2(x2x1)，C的纵坐标为c 又y轴与D相切， OAOB=OC2x1x2=c2， 又由方程ax2-3x+c=0和已知x1x2= c2= 即ac=1. (2)连结PD，交x轴于E，直线PD必为抛物线的对称轴， 连结AD、BD， AE= AB，ACB= ADB=ADE= a0，x2x1AB=x2-x1= AE=又ED=O
10、C=c，tan = (3)设PAB=，P点坐标为( )又a0在RtPAE中，PE=tan =tan=tan = PAE=ADE ADE+DAE=90PAE+DAE=90 即PAD=90PA和D相切. 5.(2003年深圳市)如图所示，已知A(5，-4)，A与x轴 分别相交于点B、C，A与y轴相切于点D， (1)求过D、B、C三点的抛物线的解析式； (2)连结BD，求tan BDC的值； (3)点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相 交于点F，PFD的平分线FG交DC于G，求sin CGF的值.解：(1)D(0，-4)，B(2，0)，C(8，0) 解析式为：y=-1/4x2+5/2x-4 y=-(x-5)2+9/4(3)求直线PC的解析式：y=-3/4x+6 设I为直线PC与y轴的交点，则I的坐标为(0，6) ID=IC=10ICD=IDC ICA=IDA=IDC+CDA=90 ICO=BDC=PFD CGF=GDF+1/2PFD=GDF+1/2BDC=HDF=45 DA=AH=半径sin CGF=sin 45= . (2)由垂径定理，作BC中点H， 可证BDC=BAH，tan BDC=tan BAH=3/4.
