微分方程模型

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1、微分方程模型二、微分方程模型三、微分方程案例分析一、微分方程建模简介四、微分方程的MATLAB求解五、微分方程综合案例分析微分方程是研究变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口和交通各个领域中有广泛的应用。不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都遵循着下面的模式：净变化率输入率输出率（守恒原理）一、微分方程模型简介引例一在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是 29oC，当时环境的温度是21oC。1h后尸体温度下 降到27oC，若人体的正常温度是37oC，估计死者 的死亡时间。解：设T(t)为死者在被杀害后t时刻尸体的温度；k 为比例系数。由牛顿冷却定律，得则通解为由已知，

2、由因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。可得微分方程的特解：，代入解得图 1尸体的温度 下降曲线建立微分方程的常用方法1、按变化规律直接列方程，如：利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律 ，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问 题直接列出微分方程 2、利用微元分析方法建模根据已知的规律或定理，通过寻求微元之间的关系式得出 微分方程。 3、模拟近似法，如：在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清 楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验 数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足 的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。

3、微分方程的建模步骤1、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如 “速率”、增长”(在生物学以及人口问题研究中)， “衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经 济学中)等2、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变t时，因变量的增 量W，建立起在时段t上的增量表达式，令 t 0，即得到 的表达式二、微分方程模型3、配备物理单位：在建模中应注意每一项采用同样的物理单位4、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。案例1：以为女士每天摄入2500cal食物，

4、1200cal 用于基本新陈代谢(即自动消耗)，并以每千克体重 消耗16cal用于日常锻炼，其他的热量转变为身体 的脂肪（设10000cal可转换成1kg脂肪）。星期天 晚上，该女士的体重是57.1526kg，星期四那天她 饱餐了一顿，共摄入了3500cal的食物，要求建立 一个通过时间预测体重函数W(t)的数学模型，并用它估计： （1）星期六该女士的体重？ （2）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？ （3）若不进食，N周后她的体重是多少？二、微分方程案例分析解1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：1、“每天”：体重的变化输入一输出其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的

5、净重量吸收；输出是进行健身训练时的消耗2、上述陈述更好的表示结构式：取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则：每天的净吸收量2500 1200 1300（cal)每天的净输出量16(cal)W16W(cal)转换成脂肪量1300 16W（cal）3、体重的变化天 (千克天)1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：有些量是用能量(cal)的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式(cal)给出，考虑单位的匹配，利用单位匹配1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：建立表达式积分后可求得其通解为：（1）当 时，每天体重的变化：初始条件为：，代入

6、解出则积分后可求得其通解为：（2）当 时，每天体重的变化：初始条件为：，代入解出则积分后可求得其通解为：（2）当 时，食物的摄入量恢复正常初始条件为：，代入解出则最后得到不同阶段的微分方程是：（1） 代入对应方程，求得现回答上述问题（2）要满足体重不增，即所以因此每天总卡路里摄取量是1200+9142114cal(cal)（3）由于每天不摄取能量，所以解得因此，n周后的体重为案例2 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼 安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实 验室，作碳14年代测定。分析表明C14与C12的比例 仅仅是活组织内的6.24，此人生活在多少年前？（碳14年代测定：活体中的碳

7、有一小部分是放射性同位素 C14。这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引 起的，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在生物体 中达到平衡浓度。这意味着在活体中，C14的数量与稳定的 C12的数量成定比。生物体死亡后，交换过程就停止了，放 射性碳便以每年八千分之一的速度减少）（1）问题分析与模型的建立1、放射性衰变的这种性质还可描述为“放射性物质 在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量成比 例”。而C14的比例数为每年八千分之一。2、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所 以，我们问题实际上就是：“这人死去多久了？”若 设t为死后年数，y(t)为比例数，则y(t)=C14/C12

8、(mgC14/mgC12)，则上文中最后一句话就给出了我 们的微分方程，单位为mgC14/mgC12/yr(与关键词“ 速率”相当)（2）解微分方程的通解为：由初始条件，故有由问题，当，代入原方程案例3、追线问题我缉私舰雷达发现，在其正西方距c海里处有一艘走私船正以匀速度a沿直线向北行驶，缉私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。图2 走私船与缉私舰的位置关系(c,0)xD(x,y)走私船 R(0,at ) 缉私艇O几何关系如何消去时间t?1、求导：2、速度与路程的关系：3、分解 得：4、将第2、3步代入第1步，可得模型

9、追线模型：模型的解：解的进一步讨论（1）若ab，即k1，显然缉私舰也不可能追上走私船。 如图所示一个容量为2000m3的小湖的示意图，通过小河A水以0.1m3/s的速度流入， 以相同的流量湖水通过B流出。在上午11:05时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容 器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急 措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详案例4 湖泊污染问题的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在520m3之间。建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化 并估计：（1）湖水何时到达污染高峰；（2）何时污染程度可降至安全水平(k（药物未吸收完前，输入速率通常总大于分解与 排泄速率），

10、但也有例外的可能（与药物性质及机体对该药物的吸收、分解 能力有关）。当k1k时，体内药物量均很小，这种情况在医学上被称为触发 翻转（flip-flop）。当k1=k时，对固定的t，令kk1取极限（应用罗比达法则 ），可得出在这种情况下的血药浓度为： 如下图给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。 容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于 急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表 现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持 时间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到某 一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）。房室系统 我们已求得三种常见给药

11、方式下的血药浓度C(t)，当然也容易 求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不 同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。 国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒 精含量阈值与检验国家标准，新标准规定 ，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等 于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升为 饮酒驾车（原标准是小于100毫克百毫升 ），血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于 100毫克百毫升）。 五、微分方程综合案例分析大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检 查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭 时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见

12、他呆到凌 晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定 为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么 喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？ 请你参考下面给出的数据（或自己收集资 料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型 ，对大李碰到的情况做出解释.参考数据1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占 体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的 含量与在体液中的含量大体是一样的。2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔 一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克百毫 升），得到数据如下： 时间(小时 )0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量3068758282

13、77686858515041时间(小时 )678910111213141516酒精含量3835282518151210774问题分析一个人的血中酒精含量取决于他喝了多少酒、他体内原有的酒 精含量以及喝酒方式等。由科普知识知道，酒精是经胃肠 （主要是肝脏）的吸收与分解进体液的。因此本文把酒精 的从胃肠（含肝脏）向体液转移情况用如下简图直观地表 示： k11为酒精从胃肠渗透到（除体液外）其它地方的速率系数； k12为酒精从胃肠进入体液的速率系数； k21为酒精在体液中消耗（向外排除或分解或吸收）的速率系数； f(t)为酒精进入胃肠的速率。 由题意，参照房室模型，可建立如下微分方程组：（1）大李在中

14、午12点喝一瓶啤酒时，即在t=0 时，胃肠中的酒精量x1(0)为一瓶酒中的酒 精a与饮酒瓶数N的乘积Na，而此时体液中 的酒精量y1(0)为0。因此初始条件为 体液（或血液）中的酒精的浓度为（2）大李第二次喝酒时胃肠和体液中已经有 酒精，所以在第二次喝酒即t=0时胃肠中的 酒精量 x2(0)为N瓶酒中的酒精质量Na与第 一次喝酒后残留在胃肠中的酒精质量x1(T1) 之和，而此时体液中的酒精量y1(0)为第一 次喝酒后残留在胃肠中的酒精质量y1(T1)， 因此大李第二次喝酒的模型如下： 由题意，参照房室模型，可建立如下微分方程组：（1）大李在中午12点喝一瓶啤酒时，即在t=0 时，胃肠中的酒精量

15、x1(0)为一瓶酒中的酒 精a与饮酒瓶数N的乘积Na，而此时体液中 的酒精量y1(0)为0。因此初始条件为 体液（或血液）中的酒精的浓度为解以上微分方程组，得 令，解可转化为N2，运用最小二乘拟合法，求解得作图如下：将以上数据代入问题一的模型中，可求得大李 在中午12点饮一瓶啤酒，即N=1时，到下午 6点第一次检查时体液中的酒精含量（即血 液中的酒精含量） 所以大李通过了第一次检查。大李第二次喝酒模型的方程解为： 考虑到大李在下午6点接受检查，之后由于停 车等待等原因耽误了大约半个小时，假设大李 从第一次检验到第二次喝酒之间间隔0.5小时， 代入数据计算可得第二次检验时，大李血液中 酒精含量为

16、：20.2448 (毫克/百毫升)。这就解 释了大李在第一次喝酒通过检查，第二次喝同 样的酒且经过更长的时间检查却被定为饮酒驾 车的情况，因为第二次喝酒时有第一次喝酒的 残留量。 求微分方程（组）解析解的命令:dsolve(方程1,方程2,方程n,初始条件,自变量)To MATLAB（ff1） 结 果：u = tan(t-c)五、微分方程的MATLAB求解解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)结 果 为 : y =3e-2xsin（5x）To MATLAB（ff2）解 输入命令 ：x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)；x=simple(x)