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1、1v2.1 线性微分方程的建立及求解v2.2 传递函数定义、性质、典型元件的传递函数v2.3 控制系统的结构图及其等效变换组成、等效变换、简化、Mason公式v2.4 自动控制系统例题液位、位置伺服、速度、液压调速第二章 控制系统的数学描述22.0 引言v建立数学模型的意义:要对自动控制系统进行定量(准确 )的分析,必须有准确的数学模型。v数学模型:描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。v物理量:高度、速度、温度、压力、流量、 电压、电流等;v表达式:代数方程、微分方程、差分方程v数学模型的种类: 1)静态数学模型:系统变量之间与时间无关的静态关系。 2)动态数学模型:系统变量对时间的变化
2、率。34建模方法 :实验法、分析法1、实验法(黑箱法、辨识法):人为施加某种测试信号 ,记录基本输出响应,根据输入输出响应辨识出数学 模型。黑匣子输入(充分激励)输出(测量结果)2.1 线性微分方程的建立及求解方法:频率特性法;最小二乘法 (曲线拟合);神经元网络法; 模糊模型法模型验证:将实际输出与模型的计算输出进行比较,系统 模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近52、分析法v思路:根据系统运动规律(定律、经验公式)和结构参数, 推导系统输入与输出之间的数学关系。v步骤(建立微分方程):1)将系统分成若干个环节,列写各环节的输入输出的数学 表达式。*利用适当的物理定律: 牛顿定律、基尔霍
3、夫定律、能量守恒定律2)联立各环节的数学表达式,消去中间变量,得到描述系 统输出、输入的微分方程。6例:如图具有转动惯量 的转子与弹性系数为 的弹 性轴、阻尼系数为 的阻尼器连接。设外加扭力矩 时,系统在角位移 处平衡。试写出角位移与扭力 矩的微分方程。解:1)输入量、输出量为2)环节表达式:能量守恒:惯性扭力矩: 阻尼力矩:弹性阻力矩:3)消去中间量: 7例:如图所示,写出RC电路的微分方程解:1)明确输入量为:ur 输 出量为: uc 2)环节的数学表达式: 3)消去中间量: 8例:图2-1为由一RC组成的四端无源网 络。试列写以U1(t)为输入量,U2(t)为 输出量的网络微分方程。9解
4、:设回路电流i1、i2, 根据基尔霍夫定律,列写 方程如下:回路1:回路2:电容1:电容2:输出关系:10由、得由导出将i1、i2代入、,则得11这就是RC组成的四端网络的数学模型,是一个二阶 线性微分方程。12数学工具拉普拉斯变换与反变换 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时,f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在,其表达式记作 *控制工程上函数都满足拉氏变换要求:能量有限v线性定理 v位移定理 v延迟定理 拉氏变换基本定理13v终值定理 v初值定理v微分定理v积分定理14工程应用中的典型函数的拉氏变换v脉冲函数v单位阶跃函数v单位速度函数v单位加速度函数v指数函数v正弦函数15二阶
5、系统单位阶跃响应( 欠阻尼)16(3)拉氏反变换vF(s)化成下列因式分解形式:vF(s)中具有不同的极点时,可展开为:vF(s)中具有共轭复极点时,可展开为:17F(s)含有多重极点时,可展开为 其余各极点的留数确定方法与上同。*对于三阶以下的系统也可以用待定系数法?18线性方程的求解v方法:解析法,拉氏变换法,计算机辅助计算法v拉氏变换法的求解步骤:1)考虑初始条件,对微分方程中的各项进行拉氏变换,变成 变量s的代数方程;2)由变量s的代数方程求出系统输入输出量的拉氏变换式;3)对输出量的拉氏变换式进行拉氏反变换,得到系统微分方 程的解。19例:设 线性微分方程为其中,u(t)为单位阶跃函
6、数,初始条件为y(0)=-1, y(0)=2,试求微分方程的解。解:*微分定理的应用1)拉氏变换:2)代入初始条件:20(3)因式分解:(4)对Y(s)进行拉氏反变换:21例:设线性微分方程为其中,u(t)为单位阶跃函数,初始条件为零, 试求y(t)。解:22运动模态v线性微分方程的解=特解+齐次微分方程的通解通解:由线性微分方程的特征根决定,代表系统的自由运动。1)无重复特征根时:解中的函数: 模态2)有重复特征根时:解中的函数: 模态3)有共轭复特征根时:解中的函数: 模态231问题的提出实际的物理系统都会含有不同程度的非线性因素,如元件的 死区、传动的间隙、输出饱和等。2增量方程与非线性
7、方程的线性化 系统统中所包含的有关变变量的非线线性函数,只要在平衡工作点附近 连续连续 ,且各阶导阶导 数存在 ,在平衡点附近做小范围围运动时动时 ,可以将此 非线线性函数以其自变变量偏差的形式展开为为泰勒级级数。对对于线线性系统统而言。输输入输输出变变量相对对于平衡工作点的变变化增 量仍满满足描述系统统的微分方程关系。如果此偏差很小,则可忽略级数中此偏差的高次项,而只保留一次 项,用所得到线性化方程代替原来的非线性方程,这种线性化方法叫做 小偏差线性化 非线性数学模型的线性化24尽管相应工作点通常不在坐标原点,但是我们用各变量的增量表示该变 量,可以认为将坐标原点移到了额定工作点。这样在以增量表示的新坐标系 中,系统运动的初始状态就等于零了,这时我们省略。设有一单变量非线性函数在平衡工作点附近将按泰勒级数展开,即