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1、1v2.1 线性微分方程的建立及求解v2.2 传递函数定义、性质、典型元件的传递函数v2.3 控制系统的结构图及其等效变换组成、等效变换、简化、Mason公式v2.4 自动控制系统例题液位、位置伺服、速度、液压调速第二章 控制系统的数学描述22.0 引言v建立数学模型的意义：要对自动控制系统进行定量（准确 ）的分析，必须有准确的数学模型。v数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。v物理量：高度、速度、温度、压力、流量、 电压、电流等；v表达式：代数方程、微分方程、差分方程v数学模型的种类： 1）静态数学模型：系统变量之间与时间无关的静态关系。 2）动态数学模型：系统变量对时间的变化
2、率。34建模方法 ：实验法、分析法1、实验法（黑箱法、辨识法）：人为施加某种测试信号 ，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学 模型。黑匣子输入（充分激励）输出（测量结果）2.1 线性微分方程的建立及求解方法：频率特性法;最小二乘法 (曲线拟合);神经元网络法; 模糊模型法模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统 模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近52、分析法v思路：根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数， 推导系统输入与输出之间的数学关系。v步骤（建立微分方程）：1）将系统分成若干个环节，列写各环节的输入输出的数学 表达式。*利用适当的物理定律： 牛顿定律、基尔霍
3、夫定律、能量守恒定律2）联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描述系 统输出、输入的微分方程。6例：如图具有转动惯量 的转子与弹性系数为 的弹 性轴、阻尼系数为 的阻尼器连接。设外加扭力矩 时，系统在角位移 处平衡。试写出角位移与扭力 矩的微分方程。解：1）输入量、输出量为2）环节表达式：能量守恒：惯性扭力矩： 阻尼力矩：弹性阻力矩：3）消去中间量： 7例：如图所示，写出RC电路的微分方程解：1）明确输入量为：ur 输 出量为： uc 2）环节的数学表达式： 3）消去中间量： 8例：图2-1为由一RC组成的四端无源网 络。试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为 输出量的网络微分方程。9解
4、：设回路电流i1、i2， 根据基尔霍夫定律，列写 方程如下：回路1：回路2：电容1：电容2：输出关系：10由、得由导出将i1、i2代入、，则得11这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶 线性微分方程。12数学工具拉普拉斯变换与反变换 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 *控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限v线性定理 v位移定理 v延迟定理 拉氏变换基本定理13v终值定理 v初值定理v微分定理v积分定理14工程应用中的典型函数的拉氏变换v脉冲函数v单位阶跃函数v单位速度函数v单位加速度函数v指数函数v正弦函数15二阶
5、系统单位阶跃响应（ 欠阻尼）16（3）拉氏反变换vF（s）化成下列因式分解形式：vF（s）中具有不同的极点时，可展开为：vF（s）中具有共轭复极点时，可展开为：17F(s)含有多重极点时，可展开为 其余各极点的留数确定方法与上同。*对于三阶以下的系统也可以用待定系数法？18线性方程的求解v方法：解析法，拉氏变换法，计算机辅助计算法v拉氏变换法的求解步骤：1）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉氏变换，变成 变量s的代数方程；2）由变量s的代数方程求出系统输入输出量的拉氏变换式；3）对输出量的拉氏变换式进行拉氏反变换，得到系统微分方 程的解。19例：设 线性微分方程为其中，u（t）为单位阶跃函
6、数，初始条件为y(0)=-1， y(0)=2,试求微分方程的解。解：*微分定理的应用1）拉氏变换：2）代入初始条件：20（3）因式分解:（4）对Y（s）进行拉氏反变换:21例：设线性微分方程为其中，u（t）为单位阶跃函数，初始条件为零， 试求y（t）。解：22运动模态v线性微分方程的解=特解+齐次微分方程的通解通解：由线性微分方程的特征根决定，代表系统的自由运动。1）无重复特征根时：解中的函数： 模态2）有重复特征根时：解中的函数： 模态3）有共轭复特征根时：解中的函数： 模态231问题的提出实际的物理系统都会含有不同程度的非线性因素，如元件的 死区、传动的间隙、输出饱和等。2增量方程与非线性
7、方程的线性化 系统统中所包含的有关变变量的非线线性函数，只要在平衡工作点附近 连续连续 ，且各阶导阶导 数存在 ，在平衡点附近做小范围围运动时动时 ，可以将此 非线线性函数以其自变变量偏差的形式展开为为泰勒级级数。对对于线线性系统统而言。输输入输输出变变量相对对于平衡工作点的变变化增 量仍满满足描述系统统的微分方程关系。如果此偏差很小，则可忽略级数中此偏差的高次项，而只保留一次 项，用所得到线性化方程代替原来的非线性方程，这种线性化方法叫做 小偏差线性化 非线性数学模型的线性化24尽管相应工作点通常不在坐标原点，但是我们用各变量的增量表示该变 量，可以认为将坐标原点移到了额定工作点。这样在以增量表示的新坐标系 中，系统运动的初始状态就等于零了，这时我们省略。设有一单变量非线性函数在平衡工作点附近将按泰勒级数展开，即
