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1、第二节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题1.二元一次不等式(组组)表示的平面区域(1)二元一次不等式表示的平面区域直线线y=kx+b把平面分成两个区域,不等式区域位置ykx+b_y0表示的平面区域一定在直线线Ax+By+C=0的上方.( )(2)任何一个二元一次不等式组组都表示平面上的一个区域.( )(3)线线性目标标函数的最优优解可能是不惟一的.( )(4)线线性目标标函数取得最值值的点一定在可行域的顶顶点或边边界上.( )(5)目标标函数z=ax+by(b0)中,z的几何意义义是直线线ax+by-z=0在y轴轴上的截距.( )(6)目标标函数z=(x-a)2+(y-b)2的几何意义义是
2、点(x,y)与(a,b)的距离.( )【解析】(1)错误.不等式Ax+By+C0表示的平面区域也可能在直线Ax+By+C=0的下方,这要取决于A与B的符号.(2)错误.不一定,如果二元一次不等式组的解集为空集,它就不表示任何区域.(3)正确.当目标函数对应的直线与可行域的某一条边界直线平行时,最优解可能有无数多个.(4)正确.线性目标函数都是通过平移直线,在与可行域有公共点的情况下,分析其在y轴上的截距的取值范围,因此其取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(5)错误.由ax+by-z=0可得 ,所以 才是该直线在y轴上的截距.(6)错误.其几何意义应该是点(x,y)与(a,b)的距离的平方
3、.答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6)1.若点(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内,则则m的取值值范围围是 .【解析】依题意有2m+3-50,解得m1.答案:m12.若x,y满满足约约束条件 则则z=3x-y的最小值值是 .【解析】z=3x-y y=3x-z,作出可行域,由图可知过A点时z取最小值,把点A(0,4)代入,可得z=-4.答案:-43.已知点P(x,y)的坐标满标满 足条件 则则x2+y2的最大值值为为 .【解析】画出不等式组对应的可行域如图所示:易得A(1,1),OA= ,B(2,2),OB= ,C(1,3),OC= ,故|OP|的最大值为 ,即x
4、2+y2的最大值等于10.答案:104.在“家电电下乡乡”活动动中,某厂要将100台洗衣机运往邻邻近的乡镇乡镇 ,现现有4辆辆甲型货车货车 和8辆辆乙型货车货车 可供使用,每辆辆甲型货货车车运输费输费 用400元,可装洗衣机20台;每辆辆乙型货车货车 运输费输费 用300元,可装洗衣机10台,若每辆辆至多只运一次,则该则该 厂所花的最少运输费输费 用为为 元.【解析】设甲型货车使用x辆,乙型货车y辆.则所花运费为z=400x+300y.画出可行域(如图),由图可知当直线z=400x+300y经过点A(4,2)时,z取最小值,最小值为zmin=2 200.答案:2 2005.不等式组组 表示的平
5、面区域的面积为积为 .【解析】该不等式组表示的平面区域是一个直角三角形,其面积等于 36=9.答案:96.已知变变量x,y满满足约约束条件 若目标标函数z=y-ax仅仅在点(5,3)处处取得最小值值,则实则实 数a的取值值范围为围为 .【解析】画出可行域,如图所示.由z=y-ax得y=ax+z,则z为直线y=ax+z在y轴上的截距,由于函数z=y-ax仅在点(5,3)处取得最小值,如图所示,则a0,直线y=ax+z过点P(5,3),且直线y=ax+z的斜率a大于直线x-y=2的斜率,所以a1.答案:(1,+)考向 1 平面区域的相关问题 【典例1】(1)已知不等式组组 表示的平面区域的面积积是
6、 ,则则a= .(2)(2012福建高考改编编)若直线线y=2x上存在点(x,y)满满足约约束条件 则实则实 数m的最大值为值为 .【思路点拨】(1)先画出不等式组所表示的平面区域,由于a0,其形状基本确定,是一个三角形,然后根据三角形的面积公式求解.(2)画出不等式组所表示的平面区域,然后结合函数y=2x的单调性及图象特征确定区域边界点的位置,从而求出m的值.【规范解答】(1)画出平面区域,可知该区域是一个三角形,其面积等于 所以h= 解方程组得y= 所以 解得答案:(2)如图,当y=2x经过且只经过x+y-3=0和x=m的交点时,即三条曲线有惟一公共点时,m取到最大值,此时,(m,2m)在
7、直线x+y-3=0上,则m=1.答案:1【拓展提升】平面区域问题的求解思路求解平面区域与函数图象、曲线方程等一些综合问题时,要以数形结合思想方法为核心,充分利用函数图象与方程曲线的特征(增减性、对称性、经过的定点、变化趋势等),与平面区域的位置和形状联系起来,对参数的取值情况分析讨论,进行求解.【变变式训练训练 】若不等式组组 表示的平面区域为为M,当抛物线线y2=2px(p0)与平面区域M有公共点时时,实实数p的取值值范围围是 .【解析】作出平面区域(如图),可以求得A(1,2),B(2,1),代入抛物线方程可得p=2,p= ,所以p ,2.答案: ,2考向 2 线性规划的相关问题 【典例2
8、】(1)(2012辽辽宁高考改编编)设变设变 量x,y满满足则则2x+3y的最大值为值为 .(2)(2013常熟模拟拟)设设x,y满满足 则则 的取值值范围围是 .(3)已知实实数x,y满满足 目标标函数z=ax-y的最小值值和最大值值分别为别为 -2和2,则则a的值为值为 .【思路点拨】(1)典型的线性规划问题,作出可行域,画出直线2x+3y=0,通过截距,观察确定最优解.(2)首先把 化为 转化求 的斜率模型求解.(3)线性规划逆向性问题,可行域已经确定,可对目标函数中的参数a进行分类讨论,确定最优解,从而求出a的值.【规范解答】(1)画出线性约束条件表示的可行域(如图中的阴影部分),令2
9、x+3y=z,则 由图形可知,当直线y=经过点A(5,15)时,截距最大,z取到最大值,且zmax=25+315=55.答案:55(2)作出可行域如图(不包括y轴):令z= ,看作可行域内的点与原点连线的斜率,z1, 2.答案:2,+)(3)画出可行域(如图所示).由z=ax-y得y=ax-z,显然当a=0时,z的最大值和最小值分别为0和-2,不合题意.若a0,则z=ax-y在A(2,2)处取得最大值2,在B 处取得最小值-2,因此有 解得a=2,符合题意;若a 时,由图形可知,目标函数在点A(2,0)处取得最小值,因此-2=0-2m,解得m=1.(2)当00)表示的平面区域的面积为积为 5,且直线线mx-y+m=0与该该平面区域有公共点,则则m的最大值值是 .【解析】画出可行域(如图),可求得A(a,2a),B(a, ),三角形区域的面积为 所以 =5,解得a=2,这时A(2,4).而直线mx-y+m=0可化为y=m(x+1),它经过定点P(-1,0),斜率为m,由图形知,当直线经过点A时,斜率m取最大值,且 故m的最大值是答案:2.若实实数x,y满满足不等式组组 则则 的取值值范围围是 .【解析】画出可行域(如图),由于 其中 表示可行域中的点(x,y)与定点(-1,-1)连线的斜率k,由图形可知k ,5,所以 ,4.答案: ,4
