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1、第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含的频率成分的相对比例或者滤出 某些频率成分的器件数字滤波器的分类：经典滤波器（即一般的滤波器）低通、高通、带通、带阻等现代滤波器（维纳滤波器等） 数字滤波器的传输函数 以 为周期（低/高通） 以 对称图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波
2、器幅度特性 1. (经典)数字滤波器的分类数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为： (6.1.1) (6.1.2 ) 2 数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示： 图6.1.2 低通滤波器的技术要求| H(e j) | 幅频特性，表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减的情况 相频特性，反映各频率成分通过滤波器后时间上的延时情况通带内和阻带内允许的衰减一般用dB(分贝)数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s
3、表示，p和s分别定义为：(6.1.3) (6.1.4) 如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成 ： (6.1.5) (6.1.6) 3. 数字滤波器设计方法概述IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类：一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)；另外一类是直接在频域或时域中进行设计。FIR滤波器设计：窗函数法和频率采样法6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤
4、波器供我们选择，如巴特沃 斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。 图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性 1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带(=0p)中的最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数，p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：(6.2.1) (6.2.2) 如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s
5、表示为以上技术指标用图6.2.2表示。图中c称为3dB截止频率，因 (6.2.3) (6.2.4) 图6.2.2 低通滤波器的幅度特性滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此(6.2.5) 2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示： (6.2.6) 图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： (6.2.7) 此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示 ：(6.2.8) 图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极
6、点分布为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(s)。 Ha(s)的表示式为设N=3，极点有6个，它们分别为取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)： 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，s/c=j/c。 令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为(6.2.10) (6.2.11) 式中，pk为归一化极点，用下式表示：将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p
7、)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：(6.2.12)将=s代入(6.2.6)式中，再将|Ha(js)|2代入(6.2.4)式中，得到：(6.2.14) (6.2.15) 由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：令,则N由下式表示： (6.2.16) 用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到： 由(6.2.15)式得到： (6.2.17)(6.2.18) 总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标p,p,s和s，用(6.2.16)式求
8、出滤波器的阶数N。(2)按照(6.2.12)式，求出归一化极点pk，将pk代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。 (3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。 表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解 ：(1) 确定阶数N。 (2) 按照(6.2.12)式，其极点为按照(6.2.11)式，归一化传输函数为上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形
9、成因式分解形式。这里不如直接查 表6.2.1简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878;-1.0000式b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。按照(6.2.17)式，得到：将c代入(6.2.18)式，得到：将p=s/c代入Ha(p)中得到：我们这里仅介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。图6.2.5分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2()表示： (6.2.19) 图6.2.5 切比雪夫型滤波器幅频
10、特性 式中，为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，波动幅度也愈大。p称为通带截止频率。令=/p，称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式，定义为当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x 21；当N=3时，C3(x)=4x 33x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为C N+1 (x)=2xCN(x)C N-1 (x) (6.2.20) 图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。由图可见：(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内；(2)当|x|1时，CN
11、(x)是双曲线函数，随x单调上升。 按照(6.2.19)式，平方幅度函数与三个参数即,p和N有关。其中与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹用下式表示： (6.2.21) 因此 (6.2.22)图6.2.7 切比雪夫型与巴特沃斯低通的A2()曲线设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，在 s处的A2(s)用(6.2.19)式确定：(6.2.23) 令s=s/p，由s1，有(6.2.24) (6.2.25)可以解出 3dB截止频率用c表示，按照(6.2.19)式，有通常取c1，因此上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式： (6.2.26) 以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点
12、，并确定Ha(p)，p=s/p。求解的过程请参考有关资料。下面仅介绍一些有用的结果。设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明： (6.2.23) 令s=s/p，由s1，有(6.2.24) (6.2.25) 上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：(6.2.26) 设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明：(6.2.27) 式中 (6.2.28) (6.2.28)式是一个椭圆方程，长半轴为pch(在虚轴上)，短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出： (6.2.29) (6.2.30) (6.2.31) 图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布设N=
13、3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即 (6.2.32)式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为(6.2.33a) 按照以上分析，下面介绍切比雪夫型滤波器设计步骤。1) 确定技术要求p,p,s和sp是=p时的衰减系数，s是=s时的衰减系数，它们为 去归一化后的传输函数为(6.2.33b) (6.2.34) (6.2.35) 这里p就是前面定义的通带波纹，见(6.2.21)式。归一化频率2) 求滤波器阶数N和参数由(6.2.19)式，得到： 将以上两
14、式代入(6.2.34)式和(6.2.35)式，得到： 令 (6.2.36) (6.2.37)这样，先由(6.2.36)式求出k-11，代入(6.2.37)式，求出阶数N，最后取大于等于N的最小整数。按照(6.2.22)式求，这里p=。+2=10 0.113) 求归一化传输函数Ha(p)为求Ha(p)，先按照(6.2.27)式求出归一化极点pk,k=1,2,:,N。 将极点pk代入(6.2.33)式，得到： 4) 将Ha(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即 (6.2.38) (6.2.39) 例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带
15、截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=60dB。 解(1) 滤波器的技术要求： (2) 求阶数N和：(3) 求Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到 ：(4)将Ha(p)去归一化，得到：4.模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带阻滤波器的设计为了防止符号混淆，先规定一些符号如下：1) 低通到高通的频率变换和之间的关系为上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(j)，高通H(j)则用下式转换：(6.2.41) (6.2.40) 图6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性模拟高通滤波器的设计步骤如下：(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率p，阻带上限频率s，通带最大衰减p，阻带最小衰减s。(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照(6.2.40)式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：低通滤波器通带截止频率p=1/p；低通滤波器阻带截止频率s=1/s；通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为s。(3)设计归一化低通滤波器G(p)。(4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照(6.2.40)式，转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/c代入H(q)中，得例6.2.3 设计高通滤波器,fp
