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1、第二章 随机变量的分布与数字特征为了广泛深入的研究随机现象的结果，揭示随机现象的统计规律性，我们需要利用数学分析的方法对随机试验结果进行定量的数学处理。于是我需要将试验结果数量化，即将试验结果与实数对应起来。这就是引入随机变量的原因。21 随机变量及其分布一、随机变量的概念例1 随机地掷一颗骰子，表示所有的样本点: 出现1点 出现2点 出现3点 出现4点 出现5点 出现6点X(): 1 2 3 4 5 6例2 某人接连不断地对同一目标进行射击, 直至射中为止, 表示射击次数: 射击1次 射击2次 射击n次 X(): 1 2 n 例3 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车, 旅客在任意时间到达车站
2、,表示该旅客的候车时间: 候车x分钟 X(): x1定义 设E为随机试验,它的样本空间为=， 如果对于每一个均有实数X()与之对应，则 称这个定义在上的实单值函数X()为随机变量, 简记X()为X随机变量常用X、Y、Z 或 、等表示。2 随机变量的分类 通常分为两类：如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等随 机 变 量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个 一一列举例如，“电视机的寿命”，实际中常 遇到的“测量误差”等全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个或几个区间二、离散型随机变量的概率分布称为随机变量X的概率分布表。X x1 x2 1 2 i 则称 为X的概
3、率分布，也称为X的 分布列。1定义: 设X是离散型随机变量，其全部可能取值为 , i=1,2, ,记 2 概率分布的性质例23 X的分布律为 X123 注意:离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1) 确定随机变量的所有可能取值;(2) 计算每个取值点的概率；(3) 列出随机变量的概率分布表例1 某射手有5发子弹，每射一次命中的概率为09，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽为止，求耗用子弹数X的概率分布。解: X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5(X=1)=09(X=3)=01209=0009(X=2)=0109=009(X=4)=01309=00009 (X=5)=01409
4、+015=00001 X12345090090009 00009 000013 例子例2 设随机变量 X 的概率分布为求:(1) a的值; (2) (1X 0) 和 (-05X5) 定义: 对于随机变量 X, 若存在一个非负可积函数f (x), x , 使对任意实数x，都有 五、连续型随机变量及其概率密度函数则称X为连续型随机变量，称 f (x)为X的概率 密度函数，简称概率密度或密度函数 简记为X f (x) xf (x)-110F(-1)F(1)2 性质: (1) f (x)0 ( x );(2)注意满足性质(1) (2)的函数都可以看为 某个随机变量的概率密度f (x)xo面积为1（4）
5、 对任意实数b，若Xf (x)，(- x +)，则 (X=b)0。(3) F (x)是(-,+)上的连续函数，且若x是f(x)的连续点，则（5）对任意两个实数 a，b (ab)，有3 例子例1 设随机变量X的概率密度函数为 求：(1) c 的值; (2) X的分布函数并作图;(3) (-1X1) 例2 已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx,求:(1) A, B的值; (2) X的概率密度 f (x)例3 设随机变量X的概率密度函数为 求：(1) A的值; (2) (-1/2X1/2) 解: (1) 即A=1,所以 A=1/=1/(/6+/6)=1/3(2) (-1/2X1/2)
