《海森堡不确定关系的证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《海森堡不确定关系的证明（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、海森堡不确定性原理 证明物理与科学技术学院：陈涛 2014.11.21狄拉克保罗狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902年8月8 日1984年10月20日），英国理论物理学家，量子力学的奠 基者之一，并对量子电动力学早期的发展作出重要贡献。曾 经主持剑桥大学的卢卡斯数学教授席位，并在佛罗里达州立 大学度过他人生的最后十四个年头。他给出的狄拉克方程可以描述费米子的物理行为，并且预 测了反物质的存在。1933年，因为“发现了在原子理论里很有用的新形式” （即量子力学的基本方程薛定谔方程和狄拉克方程）， 狄拉克和埃尔温薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。浅谈狄拉克方程我们谈论
2、的模型是 能量的哈密顿：P值可为正，可为负。 对于一个给定的P其波函 数为：负能量粒子和正能量粒子如果有能量为负的粒子，真空空 间会不会是最低能的状态？我们可以取一个真空，然后说它的能量为零。你 可以将负能量粒子放进去，负能量粒子会降低总能 量，因为万物都是趋向与低能态的。如果粒子具有负能量，那么真空不是稳定的了， 不稳定是说它会产生很多的正能量粒子和负能量粒 子。因为能量不能无中生有，所以粒子与反粒子对 中一个参与者有正能量而另一个参与者有负能量。 由能量守恒可知，必须同时制造两种粒子。相反， 如果只有正粒子呢？这也是不可能的，因为能量守 恒不允许这一点。而且我们知道良好的稳定世界要求所有的
3、粒子具 有相对真空为正的能量。而H=CP不是一良好稳定的世界， （因为P可正可负）那怎么办呢？狄拉克知道怎么办。 但是只有在费米子的情况下u什么是费米子？简单的来说，费米子就是不能处与相同状态 的简单粒子。符合泡利不相容原理的粒子就叫费米 子。u什么是玻色子？简单的来说，玻色子与费米子相反，玻色子可以 处于相同的状态的粒子，且不符合不相容原理。所以狄拉克说：看我有一个十分简单的解。试想 一下，真空空间这个状态里负能量的粒子真的会同 时填满真空，但你不能放入更多的粒子，因为不允 许存在相同状态的粒子。假设绝对真空是绝对的最 低能的状态，那现在再来看看绝对真空，你会把它 看成普通真空吗？这是能量最
4、低状态吗？答案是NO，我们可以放入一个负能量的粒子来降 低能量，这样就有了更底状态了。不管是何状态我 们可以再放入一个负能量粒子，并降低其能量。 所以说通往绝对最低的能态的唯一途径就是简单的 用负能量粒子填满它。但是你只能针对具有某种特 性的粒子这么做，那些粒子不能处于同一个状态。如果你可以将多于一个的粒子放入同一 状态，那么将会发生什么？那么你就无法阻止负能量粒子不断的进入 真空，世界将不会是稳定的，所以这是一个 合理的理论。P可为正，可为负。这就是狄拉克方程最简单 版本，这个理论可以用来描叙一维中微子。 但是不适用于光子，光子是玻色子，玻色子 的玩法根本不一样。海森堡维尔纳卡尔海森堡（19
5、01年12 月5日1976年2月1日），德国 物理学家，量子力学的主要创 始人，哥本哈根学派的代表人 物，1932年诺贝尔物理学奖获 得者。量子力学是整个科学史 上最重要的成就之一，他的 量子论的物理学基础是量子 力学领域的一部经典著作。鉴 于他的重要影响，在影响人 类历史进程的100名人排行榜 ，海森堡名列第46位。不确定性原理不确定性原理来自何方？它来自于一个事实， 即坐标X和P不对易。当两个坐标或两个观测值不对 易时，我们不可能同时测量两者。特别是X的本征矢和P的本征矢完全不同，X的本 征矢是窄而尖高度局域化的。而动量的本征矢首先 是复数eipx，但它们的实部和虚部都在完全空间中振 动。
6、所以它覆盖全空间，而不是填满全空间。不是粒 子填满空间，仅仅是粒子可能出现在空间的任意地 方。原因是它的动量已知，所以这就是不确定原理 中原始版本，如果你知道粒子的位置，你就不可能 知道它的动量。我们将波函数看出X的函数，它的关系由傅立 叶变换表示：越窄， 越宽，反之亦然。如果 很窄这意味着它只是单一的平面波。在此会证明稍微简化版本的定理，这个简化版本 也包含了基本要素。首先，一个变量里的不确定性 是什么意思？ x 该变量的分布已知， 在讨论它不确定性之前的 第一件事是，我们总是可 以移动坐标轴使得x的平均 值为0。即=0。不确定性是什么？由不 确定性的定义可知，就是x 平方的平均值。实际上原
7、点是x2为0的唯一位置，所以x2的平均 值不可能为0。事实上波函数分布越广泛，x2的平均 值就越大，这是很明显的。所以x2是描述分布宽度 的良好指标，你可以称之为x的不确定性。事实上x 不确定性的定义就是x2的平均值，即：对于一个给定的概率分布，首先x的平均值为0，那 么x的不确定性为：如果波函数已知，如何计算x呢？很简单。同理，动量不确定性定义方式本质上是相同的，你 可以用波函数的傅立叶变换来定义：由上述可知：=到了这里你或许有点担心，这里有一个负号， 为什么p的不确定性会是负数呢？P具有负的不确定 性是什么意思？这里一个负号到底是什么意思？很简单，因为积分 的值为负。在这里我们要用到数学中
8、的分部积分法，积分公 式为：在这里我们可以将 看成是F， 看成是G则有：=在此p不确定性为负值的问题得到了完美解决。构造不等式我们都知道三角形两边之和一定大 于第三边，将三条边进行向量可得：两边同时取平方可得：两边再同时平方可得：在这里我们用到了两个简单假设，第一个简单假 设是:x,和p的期望值是0，这样可以减少大量的代数 运算，这个假设前面已经用到。第二个简单假设是：波函数 是实数，如果 不是实数， 就要换算，这样我们又可省 下一堆代数运算。在前面我们已经得到：=三角不等式完全适用于左矢右矢，现在我们 可以把向量A，B看成是左矢或右矢。由于 是 实数，它们是左矢或者右矢都无关紧要。现在我们描叙向量A: 表示向量A的波函数是 。换句话说就 是算子x作用在 上。同理，我们描叙向量B：表示 B向量的波函数是 ：由不等式：在这里不必担心i和 ，因为最终会取绝对值 。 由积分公式：可得:我们再一次的运用到前面的分部积分法，即积 分公式为：由于：则有：这是全空间概率积分，所以如果函数 归一化了，这两个积分就是1，我们假设波函 数已经归一化了，设状态量已经归一化了， 因此整个式子就为四分之一。从上述可得：即：又由证毕谢谢观赏谢谢观赏谢谢观赏谢谢观赏
