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1、直角三角形在生活中的应用教学目标(一) 教学知识点1.探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题,对结果的意义进行说明. (二) 能力训练要求发展学生的数学应用意识和解决问题的能力. (三) 情感与价值观要求1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图， 培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气 . 2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、 学好数学的欲望 . 教学重点1. 探索直角三角形在生活中应用, 进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 教学难点根
2、据题意，了解有关术语，准确地画出示意图. 教学方法探索发现法教具准备多媒体演示教学过程. 创设问题情境，引入新课师 直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界. 我们在欣赏了它神秘的 “勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解. 它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题( 多媒体演示 ). 师 随着人民生活水平的提高，小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建 10 m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m长的斜道 .(
3、 如图所示，用多媒体演示 ) 这条斜道的倾斜角是多少? 生 在 Rt ABC中， BC=10 m ，AC 40 m，sinA 41ABBC. 我们查表就可求出A. 师 我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定. 给定一个锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗?为什么 ? . 讲授新课下面请大家再来看一个问题( 多媒体演示 ). 海中有一个小岛A，该岛四周10 海里内有暗礁. 今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西 55的 B处，往东行驶20 海里后，到达该岛的南偏西25的 C处， 之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的 ?与同
4、伴进行交流. 师 我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的? 生 应该是“上北下南，左西右东”. 师 请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的. 生 首先我们可将小岛A确定，货轮 B在小岛 A的南偏西55的 B处， C在 B的正东方，且在 A南偏东 25处 . 示意图如下 . 师 货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定? 生 根据题意，小岛四周10 海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 海里，则无触礁的危险，如果小于10 海里则有触礁的危险.A 到 BC所在直线的最短距离为过A作 AD BC，D为垂足，即AD的
5、长度 . 我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10 海里比较 . 师 这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题. 下面我们就来看AD如何求 . 根据题意，有哪些已知条件呢? 生 已知 BC 20 海里， BAD 55， CAD 25. 师 在示意图中，有两个直角三角形Rt ABD和 Rt ACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢? 生 在 Rt ACD中，只知道CAD=25 ，不能求AD. 生 在 Rt ABD中，知道 BAD=55 ，虽然知道BC 20 海里， 但它不是 Rt ABD的边，也不能求出AD. 师 那该如何是好 ?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑
6、? 生 我发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边.而且 BC是这两个直角三角形 BD与 CD的差，即BC BD-CD.BD 、CD的对角是已知的，BD 、CD和边 AD都有联系 . 师 有何联系呢 ? 生 在 Rt ABD中， tan55 ADBD，BD=ADtan55 ；在 RtACD中，tan25 ADCD，CD ADtan25. 生 利用 BC BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55-ADtan25 20. 师 太棒了 ! 没想到方程在这个地方帮了我们的忙. 其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.
7、下面我们一起完整地将这个题做完. 师生共析 解：过 A作 BC的垂线，交BC于点 D.得到 Rt ABD和 RtACD ，从而 BD=AD tan55 ， CD ADtan25，由 BD-CD BC ，又 BC 20 海里 . 得ADtan55-ADtan25 20. AD(tan55-tan25 ) 20，AD= 25tan55tan20 20.79( 海里 ). 这样 AD 20.79 海里 10 海里，所以货轮没有触礁的危险. 活动与探究如图，某货船以20 海里时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B处，经 16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货 . 此时 . 接到气象部门通知，
8、一台风中心正以40 海里时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200 海里的圆形区域( 包括边界 ) 均受到影响 . (1) 问： B处是否会受到台风的影响?请说明理由 . (2) 为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? ( 供选用数据：21.4 ，3 1.7) 过程 这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征. 在转化、抽象成数学问题上下功夫. 结果 (1) 过点 B作 BD AC.垂足为 D. 依题意，得BAC 30，在 RtABD中， BD= 21AB=212016=160200，B处会受到台风影响. (2)以点 B为圆心， 200 海里为半径画圆交AC
9、于 E、F，由勾股定理可求得DE=120. AD=1603. AE=AD-DE=1603 -120 ， 401203160=3.8( 小时 ). 因此，陔船应在3.8 小时内卸完货物. . 随堂练习1.一个人从山底爬到山顶，需先爬 40的山坡300 m ， 再爬 30的山坡100 m ， 求山高 .( 结果精确到0.01 m) 解：如图，根据题意，可知BC=300 m，BA=100 m， C=40， ABF=30 . 在 RtCBD中， BD=BCsin40300 0.6428 192.8(m) ；在 RtABF中， AF=ABsin30=100 212. 如图，一灯柱AB被一钢缆 CD固定，
10、 CD与地面成 40夹角，且DB 5 m，现再在 C点上方 2m处加固另一条钢缆ED ，那么钢缆ED的长度为多少? 解：在 Rt CBD中， CDB=40 ,DB=5 m，sin40 = DBBC，BC=DBsin40=5sin40 (m). 在 RtEDB中， DB=5 m ，BE=BC+EC 2+5sin40 (m). 根据勾股定理，得DE=2222)40sin52(5BEDB7.96(m). 所以钢缆 ED的长度为7.96 m. . 课堂小结本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力. 其实，我们这一章所学的内容属于“三角学” 的范畴 .
11、请同学们阅读 “读一读”， 了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣. V.课后作业1.(2003年江苏盐城 ) 如图， RtABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5 的斜坡 AD ，求 DB的长 .( 结果保留根号) 2. 如图，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成80角，房屋朝南的窗户高AB=1.8 m，要在窗户外面上方安装一个水平挡板 AC ，使光线恰好不能直射室内，求挡板 AC的宽度 .( 结果精确到0.01 m) 过程 根据题意，将实际问题转化为数学问题，在窗户外面上方安装一个水平挡板 AC ，使光线恰好不能直射室内即光线应沿 CB射入 . 所以在 RtABC中， AB 1.8 m ，ACB 80 . 求 AC的长度 . 结果 tan80 671. 58.1 80tan,ABACACAB0.317 0.32( 米). 所以水平挡板AC的宽度应为0.32 米.
