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1、3.2 差分方程模型 对于k阶差分方程 F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (3-6)若有xn = x (n), 满足 F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0, 则称xn = x (n)是差分方程(3-6)的解, 包含个任意常 数的解称为(3-6)的通解, x0, x1, , xk-1为已知时称 为(3-6)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条 件确定后的解称为(3-6)的特解.若x0, x1, , xk-1已知, 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现.若有常数a是
2、差分方程(3-6)的解, 即 F (n; a, a, , a ) = 0, 则称 a是差分方程(3-6)的平衡点.又对差分方程(3-6)的任意由初始条件确定的 解 xn= x(n)都有 xna (n), 则称这个平衡点a是稳定的.一阶常系数线性差分方程xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a -1, 0)的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1)易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当 |a|1时, b/(a +1)是稳定的平衡点. 二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r为常数.当r = 0时, 它
3、有一特解 x* = 0；当r 0, 且a + b + 1 0时, 它有一特解 x*=r/( a + b +1).不管是哪种情形, x*是其平衡点. 设其特征方 程 2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1, =2. 当1, 2是两个不同实根时,二阶常系数线 性差分方程的通解为 xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; 当1, 2=是两个相同实根时,二阶常系数线 性差分方程的通解为 xn= x* + (C1 + C2 n)n; 当1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根 时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn
4、).易知,当且仅当特征方程的任一特征根 |i |1 时, 平衡点x*是稳定的. 则对于一阶非线性差分方程 xn+1 = f (xn )其平衡点x*由代数方程 x = f (x) 解出.为分析平衡点x*的稳定性, 将上述差分方程近 似为一阶常系数线性差分方程时,上述近似线性差分方程与原 非线性差分方程的稳定性相同. 因此当时, x*是稳定的；当 时, x*是不稳定的.当 当1, 2是两个不同实根时,二阶常系数线 性差分方程的通解为 xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; 当1, 2=是两个相同实根时,二阶常系数线 性差分方程的通解为 xn= x* + (C1 + C2 n)n; 当1
5、, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根 时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ).易知,当且仅当特征方程的任一特征根 |i |1 时, 平衡点x*是稳定的. 则市场经济中的蛛网模型问 题供大于求 现 象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡蛛 网 模 型gx0y0P0fxy0xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y
6、0) 平衡点一旦xk=x0，则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg曲线斜率蛛 网 模 型在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方 程 模 型方程模型与蛛网模型的一致 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量考察 , 的含义 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度小, 有利于经济稳定 小, 有利于经济稳定结果解释xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格经济稳定经济不稳定时政府的干预办法1. 使 尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变2. 使 尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程 (其平衡点及其稳定性的概念与微分方程的有关概念是一致的)x0为平衡点研究平衡点稳定， 即k, xkx0的条件方程通解(c1, c2由初始条件确定)1, 2特征根，即方程 的根 平衡点稳定，即k, xkx0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件 放宽了模型的推广
