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1、第四章 随机变量的数字特征第一节 数学期望第二节 方差第三节 协方差与相关系数第四节 矩、协方差矩阵上一页下一页返回引例：设X=“某班学生的考试成绩”PX频数35 50 68 72 75 80 85 90 96 100 1 2 5 6 6 8 5 4 2 1该班的平均成绩为：=76.85描述随机变量的某些特征的数字称为随机变量的数字特征数学期望上一页下一页返回第一节 数学期望为随机变量X的数学期望，简称期望，记为E(X)，即 1.数学期望的定义上一页下一页返回E(X)是一个实数，形式上是X的可能值的加权平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称E(X)为X的平均值，简称均值。它完全由X的分布
2、所决定，又称为分布的均值.上一页下一页返回1 2 3 4 0.40.30.20.1解解例1：设随机变量X 服从“01”分布，求数学期望E(X)。例2：袋中有2个白球和3个黑球，每次从其中任取一个球， 直至取得白球为止，求取球次数的数学期望，假定：（）每次取出的黑球不再放回去； （）每次取出的黑球仍再放回去.（）设随机变量是取球次数，则其可能取值为 1，2，3，4，所以 的概率分布为上一页下一页返回又（2）设随机变量是取球次数，则上一页下一页返回例4.1 某商店在年末大甩卖卖中进进行有奖销奖销 售，摇奖摇奖 时时从摇摇箱摇摇出的球的可能颜颜色为为：红红、黄、蓝蓝、白 、黑五种，其对应对应 的奖奖
3、金额额分别为别为 ：10000元、1000 元、100元、10元、1元.假定摇摇箱内装有很多球，其 中红红、黄、蓝蓝、白、黑的比例分别为别为 ： 0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇摇奖摇 出的 奖奖金额额X的数学期望. 解 每次摇奖摇出的奖金额X是一个随机变量，易知 它的分布律为X10000 1000 100 10 1 pk0.0001 0.0015 0.0134 0.1 0.885上一页下一页返回因此， E（X）=100000.0001+10000.0015+1000.0134+100.1+10.885=5.725. 可见见，平均起来每次摇奖摇奖 的奖奖金额
4、额不足6元.这这个值值 对对商店作计计划预预算时时是很重要的. 上一页下一页返回例4.4 设设随机变变量X服从柯西（Cauchy）分布，其概 率密度为为 试证E（X）不存在.故E（X）不存在.证证 由于 上一页下一页返回令例：设随机变量X服从自由度为k 的 分布，求数学期望EX。解上一页下一页返回定理4.1 设Y是随机变量X的函数，即Y=g(X),g(x)是连续函数。2.随机变量函数的数学期望上一页下一页返回推广： 设Z是随机向量（X,Y）的函数，即 Z=g(X,Y) （g(x,y)是连续函数）上一页下一页返回例4.6 对对球的直径作近似测测量，设设其值值均匀分布在 区间间a，b内，求球体积积
5、的数学期望.解 设设随机变变量X表示球的直径，Y表示球的体积积，依 题题意，X的概率密度为为 球体积积 ，得 上一页下一页返回例 设二维随机变量(X, Y )的联合概率密度为求随机变量函数 Z = X 2 + Y 2的数学期望.解上一页下一页返回定理1若X是一连续型随机变量，则有：若X是一离散型随机变量，则有：推论 （1）（2）（3）3 3 数学期望的性质数学期望的性质证上一页下一页返回定理2推论：=EX + EY 若X与Y 为离散型随机变量：若X与Y 为连续型随机变量：=EX+ EY 证上一页下一页返回定理3 若X、Y 独立，则有：=EXEY 若X与Y 为离散型随机变量：若X与Y 为连续型随
6、机变量：=EX EY 推论证上一页下一页返回例4.9 设设一电电路中电电流I（安）与电电阻R（欧）是两 个相互独立的随机变变量，其概率密度分别为别为 试求电压V=IR的均值.解 上一页下一页返回(1) (01)分布 E（X）=0(1-p)+1p=p.4.常用分布的数学期望 (2) 二项分布(3) 泊松分布 (4) 均匀分布(5) 指数分布 (6) 正态态分布 上一页下一页返回通常想法：衡量办法：4.2 4.2 方差方差例：有甲、乙两射手，他们每次命中的环数分别用X、Y 表示，已知X、Y 分布列如下：试问：甲、乙两人谁的技术更稳定些？8 9 100.2 0.6 0.28 9 100.1 0.8
7、0.1在技术水平相同的条件下，比较一下谁的技术更稳定些。看谁命中的环数比较集中于平均值附近，或偏离平均值程度较小。上一页下一页返回8 9 100.2 0.6 0.28 9 100.1 0.8 0.1所以乙射手要比甲射手的技术稳定些。定义X 的标准差：设X 为一随机变量，若存在，则称其为X 的方差，记作即定义：注1：方差刻划了X 取值的分散（或集中）程度.或上一页下一页返回证明方差的计算公式:由方差的定义，并利用数学期望的定理，得例1：设随机变量X 服从 (01) 分布，求方差D(X ).解上一页下一页返回上一页下一页返回定理1证明推论：（1）（2）（3）2、方差的性质：上一页下一页返回定理2：
8、 若X与Y 独立，证明推论：有限个独立随机变量的和的方差等于它们的方差的和：上一页下一页返回例4：设随机变量X 的数学期望为EX ，标准差为设随机变量证明：证明X 的标准化的随机变量。注上一页下一页返回解 设例5pi( 0 pi 1; i =1,2,，n )，求事件A在n次试验中发生次数X 的数学期望及方差.进行n次独立试验，设事件A在第 i 次试验中发生的概率为10不难得到：其中上一页下一页返回3.常用分布的方差X 0 1 P 1-p p上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回上一页下一页返回例4.15 设设活塞的直径（以cm计计）XN(22.40,0.032)，气
9、缸的直径YN（22.50,0.042），X，Y相互独立，任取一 只活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率 解 按题意需求PXY=PX-Y0.令Z=X-Y，则E（Z）=E（X)- E（Y）=22.40-22.50=-0.10, D(Z)=D(X)+D(Y)=0.032+0.042=0.052,即ZN（-0.10,0.052）,故有上一页下一页返回第三节 协方差与相关系数上一页下一页返回定理1 证上一页下一页返回例1 设二维随机变量(X,Y )的联合概率分布如下：XY0-1 0 1 1求协方差cov(X,Y).于是解上一页下一页返回证明：例2 设X与Y是任意两个随机变量，证明：上一页下一页返回
10、上一页下一页返回定理4.3又(1)考虑随机变量证且“”：(2)上一页下一页返回故且“”：=0上一页下一页返回注：是衡量X 和Y 之间线性相关程度的量；当时，X 和Y 依概率1线性相关；当时，Y 随X 的增大而线性增大；当Y 随X 的增大而线性减少；时，又=0即由此得ab即而当时，X 和Y 线性相关程度要减弱；上一页下一页返回定理4.3 如果 X 与Y 独立，则反之不成立。接近于0 时，表明X 和Y 间的线性关系很差；当时，X与Y 不相关（线性无关）.即: X 与 Y相互独立X与 Y 不相关上一页下一页返回例4.18 设设X服从0,2上均匀分布，Y=cosX,Z=cos(X+a)，这这里a是常数.求YZ. 上一页下一页返回 当a=0时时，YZ=1，Y=Z，存在线线性关系； 当a=时时，YZ=-1，Y=-Z，存在线线性关系； 当 时时，YZ=0，这时这时 Y与Z不相关，但这这时时却有Y2+Z2=1，因此，Y与Z不独立.上一页下一页返回第四节 矩、协方差矩阵上一页下一页返回例：设随机变量 , 求X的k 阶原点矩及三阶中心矩.解因为随机变量X 的概率密度所以X 的k阶原点矩X 的三阶中心矩为
