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1、 8.1.2 可分离变量的微分方程1.形如 的方程称为可分离变量的微分方程.解法分离变量法例 1 求方程解 分离变量，得两边积分，得这就是所求方程的通解例 2 求方程解 分离变量，得两边积分，得化简得另外，y = 0 也是方程的解，因此 C2 为任意常数求解过程可简化为：两边积分得即通解为其中 C 为任意常数.中的 C2 可以为 0，这样，方程的通解是分离变量得解由题设条件衰变规律衰变速度（衰变系数 ）解例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每分2000立方米的鼓风机 通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀
2、的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 的百分比降低到多少?设鼓风机开动后 分后 的含量为在 内,的通入量的排出量车间内 的改变量为的通入量的排出量的改变量答：6分钟后, 车间内 的百分比降低到思考题求解微分方程思考题解答为所求解.2. 齐次微分方程形如 的方程称为齐次微分方程 . 解法作变量代换代入原式，得变量可分离方程例 求解微分方程：微分方程的解为解例 求解微分方程解微分方程的解为利用变量代换求解微分方程解代入原方程原方程的通解为思考题方程是否为齐次方程?思考题解答方程两边同时对 求导:原方程是齐次方程.一 ： 一阶线性微分方程:上方程称为齐次的，上方程称为非齐次的.8.2.1
3、一阶线性微分方程例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法:分离变量并积分：2. 线性非齐次方程讨论：两边积分令 即，常数变易法：把齐次方程通解中的常数易为函数的方法.作变换非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次 方程通解非齐次方程特解解例例 如图所示，平行 于y轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .两边求导得解解此微分方程所求曲线为伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程,方程为非线性微分方程.解法: 二：伯努利方程求出通解后，将 代入即得代入上式
4、令解例 解1代入原式分离变量法求解得所求通解为解2小结与思考题31.一阶线性非齐次方程2.伯努利方程思考题求微分方程 的通解.思考题解答前面主要讨论了显式形式8.2.2 全微分方程则称此微分方程为全微分方程。1定义：对微分方程例如所以是全微分方程.若存在函数2.解法为全微分方程由得是（1）的解的隐函数形式；另一方面，因应用曲线积分与路径无关理论得或也可用直接凑全微分的方法求解.解是全微分方程,原方程的通解为例解1整理得公式法:例解2整理得A 曲线积分法:B 凑微分法:C 不定积分法:原方程的通解为定义积分因子不容易求，在简单的情况下，可以观察 得到 当方程（1）的P,Q不满足全微分方程的条件时，可考虑引进所谓的积分因子的办法将其化为全微分方程形式，进而求解。例 求方程 (1xy)ydx(1xy)xdy0 的积分因子并求其通解解 0)()(22ydy xdxyxxyd 积分得通解 将方程的各项重新 合并 得 (ydxxdy)xy(ydxxdy)0 再把它改写成用积分因子乘以方程 方变为 可见2)(1 xy为方程的积分因子 0)()( 2ydy xdx xyxyd Cyx xyln|ln1 即 xyCeyx1 凭观察凑微分得到常见的全微分表达式常选用的积分因子有小结与思考题4思考题.利用曲线积分法求解全微分方程故方程的通解为思考题解答
