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1、线性代数习题讲解*第五章 特征值、特征向量及 矩阵的对角化 一、要点复习二、作业讲解三、典型例题介绍*一、要点复习正交矩阵向量的内积正交矩阵特征值和特征向量定义求法性质与结论方阵对角化相似矩阵方阵对角化向量组的正交化*1. 正交矩阵1.1 向量的内积定义：设有维向量 ， ，则把 定义为 的内积，记为： 。也可用矩阵表示为： 。运算规律：（1）对称性： .（2）线性性： ；.*向量的长度向量长度的性质： 非负性： ；齐次性： ；三角不等式： .定义：向量 的长度（或范数）定义为.当 时，称 为单位向量。对任何非零向量 ， 是单位向量，且把从向量 到 的过程称为向量的单位化，也称标准化或规范化。*
2、向量的夹角定义：非零向量 的夹角记为 ，定义为.显然，当 时，可知 的夹角为直角。*1.2 向量组的正交化定义：设n维向量 ，当 时，称向量 与 正交。 显然，零向量与任何同维向量正交。定义：一组两两正交的非零向量构成的向量组，称为正交向量组 。 定理：正交向量组一定是线性无关的向量组。但反之不成立。*（1）先Schimidt 正交化：令，标准正交化：设 线性无关，步骤如下 。.*（2）再标准化：令，则 为一个标准（或规范）正交向量组。1.3 正交矩阵定义：若n阶方阵A满足则称A为正交矩阵。 *性质：若A为正交矩阵，则有（3）A的行（列）向量组是一个标准正交向量组。（1） ；（2） ；正交变换
3、：若P为n阶正交矩阵，x为n维列向量，则线性变换称为正交变换。*2. 方阵的特征值与特征向量定义：设A 为n阶方阵 ，若存在数 和向量 使得成立，则称 是方阵A的特征值， 称为A的对应于特征值 的特 征向量。求法： 设 ，求A的特征值与特征向量的步骤如下： (1) 计算A的特征方程 ，求得A的全部特征值；(2) 对每一个特征值 ；解齐次线性方程组 ， 求出它的基础解系 ，则 是A的对应 于特征值 的全部特征向量（其中 为不全为零的常数 ）. *性质与结论：（1）属于同一特征值的特征向量是不唯一的，但一个特征向 量只能属于一个特征值 。 （2）设矩阵 的特征值为 ，则有； ，其中，称为矩阵A的迹
4、，记为tr(A)，即 .（3）矩阵的不同特征值所对应的特征向量线性无关 。 *（4）若 是A的特征值，对应于特征向量 ，则有I） 是 的特征值， R；II） 是 的特征值， N+；III）A可逆时， 是 的特征值， 是 的特征值；IV） 为方阵A的多项式的特征值。*性质：（1）相似矩阵有相同的特征多项式、特征方程；3. 方阵的对角化定义：设A，B都是n阶方阵，若存在n阶可逆阵P，使得成立，则称矩阵A与B相似。其中P称为相似变换矩阵。（2）相似矩阵有相同的特征值、行列式、迹；（3）相似矩阵一定等价，从而有相同的秩。但反之不成立；（4）若n阶方阵A，B相似，即 ，则 .3.1 相似矩阵*3.2 矩
5、阵的对角化定义：若A相似于对角阵 ，即 ，则称A可对角化。定理：（1）n阶方阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量；（2）若 n阶方阵A有n个互异的特征值 A可对角化；（3） n阶方阵A可对角化 A的每个r重特征值对应有r个线性 无关的特征向量；（4）实对称矩阵一定可对角化。即必存在正交矩阵P，使其中， 是以A的n个特征值为主对角线元素构成的对角阵；*（5）实对称矩阵的特征值均为实数，对应的特征向量可以取实 向量 ；（6）实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量不仅线性无关 而且正交 ；（7）实对称矩阵的r重特征值恰好对应r个线性无关的特征向量 。n阶方阵A对角化步骤：（I）求出A的全部特征值
6、；（II）对于A的每一个r重特征值，求出其对应的r个线性无关的特 征向量；（III）将上述n个线性无关的特征向量按列构造矩阵P，使得.*二、作业讲解1. 已知向量 ， ，求：（1） ；（2） ；（3） ；（4）把向量 单位化。解:（1） ；（2） ；（3） ；（4） .*2. 用施密特正交化方法，把向量组 ， ， 规范正交化。 解：先正交化，令，.再单位化，令， ， .*3. 求下列矩阵的特征值与特征向量：当 时，解 ，由 得一组基础解系 ，对应于 的所有的特征向量为 （ ）。解：由可得A的特征值为 .*当 时，解 ，由 得一组基础解系 ，对应于 的所有的特征向量为 （ 不全为零）。 4. 设
7、3阶矩阵A的特征值为1，-1，2 ，求 . 解：由题设可得A*的特征值为-2，2，-1，则 的特征值为-1，-3，3 . 因此， . *6. 设A，B都是n阶方阵，且 ，证明AB与BA相似 . 5. 设A是n阶正交阵，证明A的伴随矩阵A*也是正交阵 。 证明：由已知可得 ，而 ，故 也是正交阵 证明： 由于 ，故A可逆，且 ，故AB与BA相似。*解：由可得A的特征值为 .当 时，解 ，由 得一组基础解系 .当 时，解 ，由 得一组基础解系 .7. 设 ，求可逆矩阵 ，使得 为对角矩阵。 *取 ，则 可逆，且 . 8. 已知 与 相似，（1）求a，b的值； （2）求可逆矩阵 ，使得 . 解：（1）由 得 a=5，b=6 . （2）当 时，解 ，由 得一组基础解系 .*当 时，解 ，由 得一组基础解系 .取 ，则 可逆，且 . 9. 设 ，求正交矩阵 ，使得 为对角矩阵。 解：由可得A的特征值为 .*当 时，解 ，得一组基础解系 ，单位化得 ；当 时，解 ，得一组基础解系 ，正交化、单位化得 .取 ，则 是正交矩阵，且 .
