建模示例——投资的收益和风险

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1、数学建模示例 （1998A） 投资的收益和风险市场场上有n种资产资产 Si(i=1,2n)可以选择选择 , 现现用数额额 为为M的相当大的资资金作一个时时期的投资资. 这这n种资产资产 在这这 一时时期内购买购买 Si的平均收益率为为ri, 风险损风险损 失率为为qi, 投资资 越分散, 总总的风险风险 越小, 总总体风险风险 可用投资资的Si中最大的 一个风险风险 来度量. 购买购买 Si时时要付交易费费 (费费率pi), 当购买购买 额额不超过给过给 定值值ui时时, 交易费费按购买购买 ui计计算. 另外, 假定同 期银银行存款利率是r0, 既无交易费费又无风险风险 (r0=5%). 已

2、知 n=4时时相关数据如下：Siri(% )qi (%)pi (%) ui (元)S1282.51103 S2211.52198 S3235.54.552 S4252.66.540建模示例投资的收益和风险(1998A)1)试给设计试给设计 一种投资资 组组合方案, 即用给给定达到 资资金M, 有选择选择 地购买购买 若 干种资产资产 或存银银行生息, 使净净收益尽可能大, 使总总 体风险风险 尽可能小.2)使就一般情况对以上问题进行讨论，并利用下表数据进 行计算: Siri(% )qi (%)pi (%) ui (元)S19.6422.1181 S218.5543.2407 S349.4606

3、.0428 S423.9421.5549 S58.11.27.6270 S614393.4397 S740.7685.6178 S831.233.43.1220 S933.653.32.7457 S1036.8402.9248Siri(% )qi (%)pi (%)ui (元 ) S1111.8315.1)195 S1295.55.7320 S1335462.7267 S149.45.34.5328 S1515237.6131基本假设： 1. 投资数额M相当大, 为了便于计算，假设M=1； 2. 投资越分散，总的风险越小； 3. 总体风险用投资项目Si中最大的一个风险来度量； 4. n种资产S

4、i之间是相互独立的； 5. 在投资的这一时期内, ri, pi, qi, r0为定值, 不受意外因素影响; 6. 净收益和总体风险只受 ri, pi, qi影响，不受其他因素干扰。二、基本假设和符号规定符号规定： Si -第i种投资项目，如股票，债券; ri, pi, qi -分别为Si的平均收益率, 风险损失率, 交易费率; ui -Si的交易定额; r0 -同期银行利率; xi -投资项目Si的资金; Q(x) -总体收益函数; P(x)-总体风险函数；三、模型的建立与分析1. 总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即 max qixi|i=1，2,n2购买Si所付交易费是一个分段

5、函数, 即交易费= pimaxui, xi; 3要使净收益尽可能大,总体风险尽可能小, 这是一个多目标规 划模型: 目 标约 束 条 件4. 模型简化：2) 简化总体风险函数P(x): 1) 简化总收益函数Q(x) 购买Si所付交易费是一个分段函数, 即交易费= pimaxui, xi; 而题目所给定的定值ui(单位:元)相对总投资M很小, piui更小,可 以忽略不计, 这样购买Si的净收益为(ri-pi)xi简化后的模型双目标线性规划模型四、模型求解解法1 固定风险 水平，极大化净 收益模型1解法2 固定净收 益水平,极小化风 险损失模型2解法3 权衡资产风险和预期净收益两方面, 对风险、

6、收 益赋予权重s和1s(s称为投资偏好系数)模型3模型1 确定风险水平a0，使每一项投资的风险损失 不超过a0*M，并极大化净收益，来得到最优投资组 合把多目标问题转化为单目标问题通常在分析 问题时，需要 取多组不同的 风险水平a0，观 察净收益的变 化情况，以便 给出合理的风 险水平a0。如取风险水平a00:0.001:0.1，可看出净收益的变 化情况如图。1.00 0 0 0 0 0 0.66 0.08 0.13 0.04 0.08 0.002 0.33 0.16 0.27 0.07 0.15 0.0040 0.24 0.40 0.11 0.22 0.0060 0.32 0.53 0.13

7、 0 0.0080 0.40 0.58 0 0 0.010 0.48 0.51 0 0 0.0120 0.56 0.43 0 0 0.0140 0.64 0.35 0 0 0.0160 0.72 0.27 0 0 0.0180 0.80 0.19 0 0 0.0200 0.88 0.11 0 0 0.0220 0.96 0.03 0 0 0.0240 0.99 0 0 0 0.026a00.006 a00.025模型1结果分析：返 回4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很 少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润 增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好

8、的投资者来说 ，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合。3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益 要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平 下的最优投资组合。2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。 即:冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽 量分散投资。1.风险大，收益也大。模型2 确定净收益水平下限b0，使每一项投资的净 收益不低于b0，并极小化风险，来得到最优投资组 合把多目标问题转化为单目标问题同样在分析 问题时，取多 组不同的收益 水平下限b0，观 察风险的变化 情况，以便给 出合理的收益 水平下限b0。注意这里决策 变量为x和a！模型3 权衡投资风险和预期净收益两方面, 对风险、 收益赋予权重s和1s(s称为投资偏好系数)取多组不同的偏 好系数s，观察 风险和收益的变 化情况，以便给 出合理的偏好系 数s。注意这里决策 变量为x和a！作业3v研究该问题的模型2或模型3(选一)，求解此 问题并进行必要的分析(如投资决策的建议等)