《线性代数--矩阵》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数--矩阵（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数 第三讲主讲教师:王升瑞1第二章一、矩阵的概念 三、分块矩阵四、矩阵的初等变换五、矩阵的秩及其求法六、矩阵的逆及其求法矩阵二、矩阵的运算 2一、矩阵的概念二、几种特殊形式的矩阵三、矩阵的相等第一节矩阵的概念 第二章 四、矩阵的转置五、对称矩阵六、非奇异矩阵3引例设 n 元非齐次线性方程组例如41、线性方程组何时有解？问题：方法：矩阵的初等变换3、有解时，如何求出全部的解？ 2、若有解，解是否唯一？引例设 n 元非齐次线性方程组5一、矩阵的概念加以解决。本章的学习重点是要熟练掌握矩阵的各种运算。矩阵是线性代数的基本工具之一，也是线性代数研究的主要对象。它推动了线性代数以及其它数学分支的发
2、展， 很多实际问题都可以用矩阵理论6引例 1. 看A、B、C、D四个同学的成绩表的表示 。7由mn个数(i=1,2, ,m ; j=1,2, ,n)排成的m行n列数表称为一个m行n列矩阵， 简称为mn矩阵，简记为或矩阵通常用大写的英文字母A，B，C等表示。如：是一个23矩阵矩阵的定义8称为矩阵A的第 i行第j列元素，简称为矩阵（1）当m = 1时，矩阵只有一行，称为行矩阵，即A的（i，j）元。二、几种特殊的矩阵：9（2）当n = 1时，矩阵只有一列，称为列矩阵，即如：(3) 元素全为零的 mn 矩阵称为零矩阵，记作 O；10（5）主对角线上的元素不全为零，的矩阵称为 对角矩阵简记为例如， 矩阵
3、是对角矩阵。方阵，即形如而主对角线以外元素全为零的（4）当m = n时，称A为n 阶矩阵或n 阶方阵。例则 B 是一个 2 阶方阵，11（6）对角线上元素全为1的n阶对角矩阵，即如的n阶方阵，称为n阶单位矩阵，记为En。如12(8) 形如的方阵，称为下三角矩阵（主对角线右上方元素全为零）。（7）形如的方阵，称为上三角矩阵。（主对角线左下方元素全为零 ）13(9) 形如称为阶梯阵。14(10) 形如称为阶梯阵。阶梯阵基本上都具有下列特点：1、每一个“阶梯”上仅有一行；2、它的任一行从第一个元素起到该行的第一个非零元素的左下方的每个元素都是零。3、如果某行的元素为0， 则该行下面的元素也全为0。1
4、5例如均称为阶梯阵。16最简阶梯阵均称为最简阶梯阵。如果阶梯阵的每个非零行上一定有一个元素为1，并且这些1所在列的其它元素均为0， 则称此阶梯阵为最简阶梯阵。17几种特殊形状的矩阵n阶方阵 行矩阵 列矩阵 零矩阵o上三角矩阵 下三角矩阵 对角阵;单位矩阵En 18定义2. 若两个矩阵与的所有对应 即 （i=1，2，m； j=1，2，n），则称这两个矩阵相等，记作 A = B。元素相等。问题:所有的零矩阵都相等吗?前提:行数相同,列数也相同.例如：求使得解：三、两个矩阵相等19四、矩阵的转置若把m行n列矩阵的行依次转变为列，便得到 n行m列矩阵称为矩阵A的转置矩阵， 记为。一般显然20五、对称矩
5、阵是对称矩阵定义5 若方阵A满足则称A为对称矩阵即 对称矩阵的元素关于主对角线是对称的。21表示由方阵 的元素按某种规则运算得到的一个数，用式子或记其中为行列式的第列元素。行矩阵行列式是刻划方阵本 质的一个重要指标。并称之为 n 阶方阵A的行列式,简称为 n 阶行列式。1、定义 设 n阶方阵六、矩阵行列式数一般22七、非奇异矩阵定义6设n阶方阵A，当时，称A为非奇异矩阵，也称为非退化矩阵；时，称A为奇异矩阵，也称为退化矩阵；例如 称E为非奇异矩阵。注：矩阵行列式对应的矩阵必须是方阵。奇异矩阵和非奇异矩阵有着本质的区别。23作业P62 1 2 2,4 3（口答） 42,324一、矩阵的加法二、数
6、与矩阵相乘三、矩阵与矩阵的乘法第二节 矩阵的运算 第二章 25矩阵的运算矩阵一般不是一个数，而是一个数表。对于这个新的研究对象，我们要逐一给出矩阵的运算规则，从而使它成为我们已经了解了它的概念，理论研究和解决实际问题的工具。26例1设有两种物资由三个产地运往四个销地的调运方案分别如表1和表2:表1 物资1的调运方案（单位：吨） S1 S2 S3 S4 P1 P2 P3销地产地3 7 5 20 2 1 4 1 3 0 6 ,用A表示这种调运方案27表2 物资2的调运方案（单位：吨） 产地1 0 1 23 2 4 3 0 1 5 2P1 P2 P3S1 S2 S3 S4销地用B表示这种调运方案问：
7、要从产地Pi（i=1，2,3）,两种物资总量是多少？运往销地Sj（j=1，2，,4）28表示从各产地运往各销地两种物资的总运量的信息矩阵。则的两种物资总量。显然，两个矩阵中的和就是产地i与运往销地j,29一、 矩阵的加法与数量乘法1、矩阵的加法：设的和矩阵：对应元素相加。简记为定义1302、数乘矩阵设为实数，的乘积矩阵：即与数乘矩阵的每个元素。定义2称此矩阵为常数3、矩阵减法负矩阵31求为实数，设解例232例如可用以下矩阵表示 ： 消耗金额(单元：元)的关系，每生产价值为100元的煤，一座发电厂和一条铁路 。若要求煤矿、电厂、铁路局相互之间产值为k 元与某地有一座煤矿， 经过成本合算，需要消耗
8、 25 元的电和 15元的运费。每生产价值为100元钱的电， 需要 65元的煤作为燃料， 为了运行电厂的辅助设备要 消耗5元的电， 还要花费5元的运输费。 铁路局每提供 100元钱的运输要消耗55元的煤和10元的辅助设备用电。煤矿 电厂 铁路局煤 电 运输33加法运算律:数乘运算律:一般：A为n阶方阵。34例3已知,求矩阵使解: 原方程为,35二、矩阵的乘法引例月产量(单位:台)为：甲乙两家公司生产I、II、III三种型号的计算机，I II III 甲 乙如果生产这三种型号的计算机每台的月利润 (单位：那么两家公司月利润(单位:万元)应为 万元)为：I II III36那么两家公司月利润(单位
9、:万元)应为 37定义3设的乘法，即其中，称的积。为矩阵与38不存在例439例5求解40例6已知下列四个矩阵：对任何求解，41求例7 已知B的列数A的行数解：不存在A的列数B的行数思考 为矩阵,为若矩阵,问X的行、列数分别为多少？42注：一般情况下或不能推出(1 )(3 )(2 )不能推出（1）结合律矩阵的乘法满足下列运算规律：（2）（3）k 为实数为左乘分配律为右乘分配律注意：不能推得43解使求设XA=例8解得,即44求解例9 设45特别：46若则的意义规定为例如：设47例10 设（2006考研）为2阶，矩阵B满足求 解：由 化为 两边取行列式得 计算得 因此 48线性代数 第四讲主讲教师:
10、王升瑞49用矩阵表示线性方程组设有n个未知量的线性方程组（1.1）解： 根据矩阵相等的定义有50增广矩阵增广矩阵完全确定了线性方程组。51将左边的矩阵表示为两个矩阵的乘积得：系数矩阵未知数矩阵常数矩阵52将左边的矩阵表示为两个矩阵的乘积得：系数矩阵未知数矩阵常数矩阵称（1.2）为方程组(1.1）的矩阵表示式. 注意:上述表A中的每一行都与方程组中确定的方程对应，每一列都与方程组中确定的未知数的系数（或常数项） 对应。 就是说，数表中的每一个数都有确定的位置。而确定的位置表示了确定的含义。53例10 设有两个线性变换求从到的线性变换。 解：两个线性变换所对应的矩阵分别为P79 例14自看54三、矩阵的转置定义4转置矩阵，记作将行列互换得到的矩阵，称为的或运算律(1)(2)(4)(3) 55例11 用矩阵证明证：56例12解 利用转置矩阵的性质简化并计算57作业P81 1 ; 2 ; 3 1 2 5 7 5; 6; 8; 958例13(2)证明(1)是 阶对称矩阵，证明是反对称矩阵;是对称矩阵(1)已知是对称矩阵,则必要性(2)由定义知，是反对称矩阵。则,充分性故时,当则是对称矩阵。,。,59
