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1、第四节 不可数无穷集第一章 集合及其基数1 不可数集的存在性(区间0,1是不可数集) 0 1/3 2/3 1 证明：假设证明：假设0,10,1是可数集是可数集, ,则则 0,1 0,1 可以写成一个无穷可以写成一个无穷序列的形式：序列的形式： 0 1/3 2/3 1数的进位制简介l十进制小数 相应于 对0,1十等分l二进制小数 相应于 对0,1二等分l三进制小数 相应于 对0,1三等分说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如 0.2000000 0.1999999 （十进制小数）第一次十等分确定第一位小数 第二次十等分确定第二位小数不可数集的存在性的另一种证明证明：假设（证明：假设（0,10
2、,1）是可数集）是可数集, ,则则 （0,10,1） 可以写成一个无穷可以写成一个无穷序列的形式：序列的形式：把每个数写成正规小数（不能以把每个数写成正规小数（不能以0 0为循环节）为循环节）令x=0.a1a2a3a4 其中则得到矛盾，所以(0,1)是不可数集。定义：与0,1区间对等的集合称为连续势集， 其势记为 ， 显然：例：1）R (0,1) 0,1 0,1) R+ (ab)2 连续势集的定义2）无理数集为连续势集（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）3 连续势集的性质（卡氏积）（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集1874年Cantor考虑 R 与Rn的对应关系，
3、并企图证 明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年， 他证明了一一对应关系是存在的，从而说明 Rn具 有连续基数 ，他当初写信给Dedekind说： “我看到了它，但我简直不能相信它”.推论平面与直线有“相同多”的点连续势集的性质（并集）l连续势集的（有限个，可数个，连续势个） 并仍为连续势集( ( ( 0 1 2 n-1 n( ( ( 0 1 2 n-1 ny4 无最大势定理从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合.此证为对角线方法，与(0,1) 是不可数集的证明比较。尽管尽管 Cantor Cantor 在在18831883年就证明了这个定理，但直到年就证明了这个定理，但直到1899
4、1899 年年 Cantor Cantor 才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义 有矛盾，即所谓的有矛盾，即所谓的 Cantor Cantor 的最大基数悖论的最大基数悖论. .因此因此CantorCantor在在18991899年给年给 DedekindDedekind 的一封信中曾指出的一封信中曾指出, ,人们人们 要想不陷于矛盾的话要想不陷于矛盾的话, ,就不能谈论由一切集合所组成的集合就不能谈论由一切集合所组成的集合. .集合悖论证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对 应关系，故2N 与0,1N对等；下证：说明：相当于把 对应到一个三
5、进制小数5 可数势与连续势思考：为什么不用二进制。N上的特征函数全体Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上 将它列为二十三个难题的第一个问题。注记： 从前面我们已经看到：Cantor认为在 之间不存在别的基数， 即不存在这样的集合A,使得但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。连续统假设在在ZermeloZermelo-Frankel-Frankel公理集合论体系下公理集合论体系下参见：数学与哲学张景中，数理逻辑概貌莫绍揆ZF公理集合论体系下的连续统假设19401940年年GodelGodel证明了连续统假设的相容性证明了连续统假设的相容性（即不能证明它不真）；（
6、即不能证明它不真）；19621962年年StanfordStanford大学的大学的P.J.CohenP.J.Cohen证明了它的独立性证明了它的独立性 （即不能用其他公理证明它真）；（即不能用其他公理证明它真）；6 基数的运算对一些记号的说明思考：如何推广 不可数个集合的 卡氏积？第五节 半序集第一章 集合主讲：胡努春1 半序集数学三大母结构（Bourbaki学派观点）：拓扑结构（邻近关系），代数结构（运算关系），序结构（顺序关系）（测度（长度、面积、体积）例：对实数集R有远近关系，四则运算，大小顺序，区间有长度半序集定义自反性: 反对称性: 传递性:则称A按 成一半序集（偏序集）。设A是一
7、集合， 为A中的某些元素的关系 且满足:例 是一半序集. 是一半序集. 2 Zorn引理与选择公理Zorn引理：设 是一偏序集，A中的 每个全序子集有上界，则A必有极大元。选择公理：设 为一簇两两不交的非空集簇，则存在一集B使得 是单元素集。对选择公理的说明l利用选择公理，Banach在1924年证明了分 球定理，即一个闭球U可分解成两个互不相 交的集合A，B且U与A可 由相同多的有限 多个互相合同的子集并成，U与B可由相同 多的有限多个互相合同的子集并成；粗略 来说即可把一个球U分解成两个与U具有同 样体积的球A和B。 （见：王世强数理逻辑与范畴论应用 ）选择公理的说明l通俗讲，假如有无限双鞋子，则我们有一规则 ，从每双鞋子中取出左脚穿的鞋子，其总体构 成一集合；但若是无限双袜子，由于袜子不分 左右，所以就有多种选择，要承认这种成员不 确定的集合存在，就要引用选择公理。数学中 许多重要定理的证明都需要用到选择公理，如 Lebesgue不可测集的存在，拓扑空间紧性 的 Tychonoff定理等。 注：关于选择公理的一些等价命题，可参见 一般拓扑学（J.L.Kelly p34）
