(课件)解排列组合问题的十七种常用策略_222

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1、 完成一件事，有完成一件事，有n n类办法，在第类办法，在第1 1类办法中有类办法中有 m m1 1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2 2类办法中有类办法中有m m2 2种不种不 同的方法，同的方法，在第，在第n n类办法中有类办法中有m mn n种不同的种不同的 方法，那么完成这件事共有：方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法复习巩固1.1.分类计数原理分类计数原理( (加法原理加法原理) ) 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有m m2 2 种不同的方法种不同的方法

2、 ，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法，那么完成种不同的方法，那么完成 这件事共有：这件事共有：种不同的方法种不同的方法2.2.分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理）分步计数原理分步计数原理各步相互依存各步相互依存，每步中的方法，每步中的方法 完成事件的完成事件的一个阶段一个阶段，不能完成整个事件不能完成整个事件3.3.分类计数原理分类计数原理分步计数原理区别分步计数原理区别 分类计数原理分类计数原理方法相互独立方法相互独立，任何一种方法，任何一种方法 都可以都可以独立地完成这件事独立地完成这件事。解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下

3、:1.1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事 2.2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所要做的事, ,即采取分步还即采取分步还是分类是分类, ,或是分步与分类同时进行或是分步与分类同时进行, ,确定分多确定分多少步及多少类。少步及多少类。 3.3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是排列问题( (有序有序) )还是还是组合组合( (无序无序) )问题问题, ,元素总数是多少及取出多元素总数是多少及取出多少个元素少个元素. . 解决排列组合综合性问题，往往类与步交解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一

4、一. .特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置 先排末位共有_ 然后排首位共有_ 最后排其它位置共有_由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 题最常用也是最基本的方法题最常用也是最基本的方法, ,若以元素分析为若以元素分析为 主主, ,需先安排特殊元素需先安排特殊元素, ,再处理其它元素再处理其它元素. .若以若以 位置分析为主位置分析为主, ,需先满足特殊位置的要求需先满足特

5、殊位置的要求, ,再再 处理其它位置。若有多个约束条件，往往是处理其它位置。若有多个约束条件，往往是 考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两 种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆 里，问有多少不同的种法？练习题二二. .相邻元素捆绑策略相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.甲乙丙丁由分步计数原理可得共有 种不同的排法=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 要求某几个元

6、素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题, ,可以用可以用捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题. .即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并为一个元素为一个元素, ,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列, ,同时同时要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好 有3枪连在一起的情形的不同种数为（ ）练习题20三三. .不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略 例例3.3.一个晚会的节目有一个晚会的节目有4 4个舞蹈个舞蹈,2,2个相声个相声,3,3个个独唱独唱, ,舞蹈节目不能连续出场舞蹈节目不能连续出场, ,则节目的出则节目的

7、出场顺序有多少种？场顺序有多少种？ 解解: :分两步进行第一步排分两步进行第一步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共有有 种，种， 第二步将4舞蹈插入第一步排 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 种 不同的方法 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种相相独独独元素相离问题可先把没有位置要求的元素进元素相离问题可先把没有位置要求的元素进 行排队再把不相邻元素插入中间和两端行排队再把不相邻元素插入中间和两端某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中，且两 个新节目不相邻，那么不同插法的种数 为（ ）30练习题四.定序问题倍缩

8、空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列 问题,可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排列数,则共有不同排法种数 是： （空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外 的四人就坐共有 种方法，其余的三个 位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 种 方法 1 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法4*5*6*7定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理练习题10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加，

9、共有多少排法？五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 种分法.7把第二名实习生分配 到车间也有7种分法 ，依此类推,由分步计数原理共有 种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种nm1 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 （ ）练习题六六. .多排问题直排策略多排问题直排策略 例6.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多

10、少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两 个特殊元素有_种,再排后4个位置上的 特殊元素有_种,其余的5人在5个位置 上任意排列有_种,则共有_种.前排后排一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑,再分段研究.七七. .排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略 例7.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有_种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有_种方法. 根据分步计数原理装球的方法共有_解决排列组合混合问题解决排

11、列组合混合问题, ,先选后排是最基本先选后排是最基本 的指导思想的指导思想. .此法与此法与相邻元素捆绑策略相似相邻元素捆绑策略相似 吗吗? ?练习题一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有_ 种192八八. .小集团问题先整体局部策略小集团问题先整体局部策略 例8.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹在1,两个奇数之间,这样的五位数有多少个？ 解：把,当作一个小集团与排队共有_种排法，再排小集团内部共有_种排法，由分步计数原理共有_种排法.31524小集团小集团排列问题中，

12、先整体后局 部，再结合其它策略进行处理。.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,幅油画,幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_2. 5男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有_种九.元素相同问题隔板策略 例9.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。 在个空档中选个位置插个隔板， 可把名额分成份，对应地分给个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有_种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成

13、m m份（份（n n，m m为正整数）为正整数）, , 每份至少一个元素每份至少一个元素, ,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入n n 个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法数个空隙中，所有分法数 为为练习题1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？2 .x+y+z+w=100求这个方程组的正整数解的组数十十. .正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略再淘汰和小于10的偶数共_ 符合条件的取法共有_ 9013015017023025027041045043- 9+有些排列组合问题有些排列组合问题, ,正面直接考虑比较复杂正面直接考虑比较复杂,

14、, 而它的反面往往比较简捷而它的反面往往比较简捷, ,可以先求出它的可以先求出它的 反面反面, ,再从整体中淘汰再从整体中淘汰. .我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十一.平均分组问题除法策略 例11. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 解: 分三步取书得 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 种取法 ,而这些

15、分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共 有 种分法。平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一 种情况,所以分组后要一定要除以 (n为均 分的组数)避免重复计数。1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？ 2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 （1540 ）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每 班安排2名，则不同的安排方案种数为_十二. 合理分类与分步策略 例12.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法? 解 ：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱 的5人中没有人选上唱歌人员共有_ 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人 员_种,只会唱的5人中只有2人 选上唱歌人员有_种，由分类计数 原理共有_种。