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1、1江苏省靖江高级中学 2014-2015 学年高二期中考试（理）一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分分. .请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上. .1. 命题“0x，有02 xx”的否定是 . 2. 若niimi11（iRnm, 为虚数单位） ，则mn的值为 . 3. 观察下列式子：213122，221151233，222111712344，根据以上式子可以猜想2221111232015 . 4. 若cossinzi（i为虚数单位） ，则+22kkZ是21z 的 条件. （填“充分不必要” ，
2、 “必要不充分” ， “充要” ， “既不充分也不必要” ）5.设62 xx的展开式中3x的系数为A，二项式系数为B，则BA6.已知函数( )yf x是R上的增函数，, a bR，命题“若0ab，则)()()()(bfafbfaf”与它的逆命题，否命题，逆否命题四个命题中真命题的个数为 .7. 已知Nnan n122.221，nn nnnnaCaCaCA.22 11，则nA可化简为. （用含有n的式子表示）8. 已知条件015: xxp和条件121:mxmq，若p是q的充分条件，则实数m的取值范是 .9. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点
3、在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a. 类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .210. 若9 92 21091.112xaxaxaamx，且92 9312 8203aaaaaa，则实数 m 的值为 . 11. 下列四个命题中，真命题的序号是 . Rm，使342) 1()(mmxmxf是幂函数，且在, 0上递减；0a，函数axxxflnln)(2有零点；R,，使coscos)cos(；R，函数)2sin()(xxf都不是偶函数12已知222 01221nn nxaa xa xa x（其中n为给定的正整数） ，则
4、对任意整数k（02kn） ，1 2121kk kk nnaa CC 恒为定值是 .13. 已知二次函数2( )2()1f uuxy u的值域为0,)，且当0x ，0y 时，不等式2221xytxy恒成立，则实数t的最大值为 14. 设集合5 , 4 , 3 , 2 , 1I,选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 种二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 9090 分分. .请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. .15 （本小
5、题满分 14 分）已知z是虚数，zz1是实数（1）求z为何值时，iz2有最小值，并求出|iz2的最小值；（2）设zzu11，求证：u为纯虚数316 （本小题满分 14 分）已知命题p：函数log (1)ayax在定义域上单调递增；命题q：不等式2(2)2(2)40axax对任意实数x恒成立，若qp是真命题，求实数a的取值范围17 （本小题满分 14 分）如图，四边形ABCD的两条对角线,AC BD相交于O，现用五种颜色（其中一种为红色）对图中四个三角形,ABOBCOCDOADO进行染色，且每个三角形用一种颜色图染.（1）若必须使用红色，求四个三角形,ABOBCOCDOADO中有且只有一组相邻三
6、角形同色的染色方法的种数；（2）若不使用红色，求四个三角形,ABOBCOCDOADO中所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数.418 （本小题满分 16 分）已知函数( )xf xa（0a且1a ） ，函数)(xS、( )C x分别是R上的奇函数和偶函数，并且( )( )( )S xC xf x（1）求)(xS和( )C x的解析式；（2）计算)5(),3(),3(),2(),2(SCSCS，探索它们之间的关系并推广到一般情形，并给予证明；（3）类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，结合（2）的结论，试写出与（2）结果不相同的三个关于)(xS、( )C x的关系式，并给予证明19 （本小题满分
7、 16 分）已知数列 na满足12 1nnnnaaa，且21a（1）计算432,aaa的值，由此猜想数列 na的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）求证：nn nnnan3220 （本题满分 16 分）已知函数( ) |f xxm和函数2( )|7g xx xmmm.（1）若方程( ) |f xm在 4,)上有两个不同的解，求实数m的取值范围；（2）若对1(,4x ,均23,)x，使得12( )()f xg x成立，求实数m的取值范围.5参考答案参考答案10x，有02 xx 21 3 201540294充分不必要 54 64 7nn23 83 , 983a101 或3 11 121222 nn
8、13 4114 49 15解：设)0( bbiaz，则ibabbbaaababiabiabiabiazz 22222211所以，022babb，又0b可得122ba 4分（1）22) 1()2() 1()2(2baibaiz表示点baP,到点1 , 2A的距离，所以iz2最小值为151AO 7 分解方程组 12122yxxy并结合图形得iz55 552 9分（2） abi babiabia biabia zzu1111 11 11226又0b，所以u为纯虚数 14 分16解：:01pa 5分当2a时04 恒成立； 7 分当2a时，0216242aa，解得：22a22:aq 11 分所以，2 ,
9、 2a 14分17解：（1）同色的相邻三角形共有4种，不妨假设为,ABOBCO，若,ABOBCO同时染红色，则另外两个三角形共有2 4A种染色方法，因此这种情况共有2 412A 种染色方法；若,ABOBCO同时染的不是红色，则它们的染色有4种，另外两个三角形一个必须染红色，所以这两个三角形共有3 26，因此这种情况共有4 624种染色方法综上可知有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数为41224144种；7分（2）因为不用红色，则只有四种颜色若一共使用了四种颜色，则共有4 424A 种染色方法；若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在对顶的区域，所以一共有312 432248C
10、CA 种染色方法；若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组对顶区域，所以共有2 4212C 种染色方法综上可知所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数为84种 14 分18解：（1）将x代入( )( )= ( )S xC xf x 得()()= ()=xSxCxfxa，因为函数7( )S x、 ( )C x分别是R上的奇函数和偶函数，所以( )( )= ()=xS xC xfxa ，+得( )2xxaaC x,得( )2xxaaS x； 4分（2）22 (2)2aaS,22 (2)2aaC,33 (3)2aaS,33+(3)2aaC ,55 (5)2aaS,所以(5)=S(2)
11、 (3)(2) (3)SCCS, 6 分推广得到()=S xy( ) ( )( ) ( )S x C yC x S y 证明：( ) ( )( ) ( )S x C yC x S y=2xxaa 2yyaa+2xxaa 2yyaa=+2x yx yaa = ()S xy； 9 分（3）()=S xy( ) ( )( ) ( )S x C yC x S y；( + )=C x y( ) ( )+ ( ) ( )C x C yS x S y；()=C xy( ) ( )( ) ( )C x C yS x S y 12 分证明：( ) ( )( ) ( )C x C yS x S y=2xxaa 2
12、yyaa+2xxaa 2yyaa=+2x yx yaa = ()C xy将()=S xy( ) ( )( ) ( )S x C yC x S y和( + )=C x y( ) ( )+ ( ) ( )C x C yS x S y中y用y 代替得()=S xy( ) ()+ ( ) ()S x CyC x Sy，()=C xy( ) ()+ ( ) ()C x CyS x Sy因为函数( )S x、( )C x分别是R上的奇函数和偶函数，所以()=S xy( ) ( )( ) ( )S x C yC x S y，()=C xy( ) ( )( ) ( )C x C yS x S y16分819解：（1）5, 4, 3432aaa，由此猜想数列1 nan 3 分证明：当1k时，2111a，符合；假设当kn 时，1 kak成立，那么当1 kn时，1) 1(21) 1() 1(122 1kkkkkkaaakkk所以，当1 kn时也成立 7 分（2）即证3112nn9 分2111.111111 221nCnCnCnCnnnn nnnn11 分又121 2.211 !11.21 !11kkk nknkn nn nn nn knC， 13分故有32123211211 121.21 21111112 n
