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1、小结 思考题 作业函数极限的性质函数在无穷远点的极限 函数在一点的极限第三节 函数的极限对于数列,即整标函数 其自变量的变化只有一种情形.而对于一般函数 来说,有:第一章 函数与极限1一、函数在无穷远点(infinite point)的极限设对充分大的x,函数 处处有定义.如果随着x的无限增大,相应的函数 就 无限接近某一常数 A. 由此可引入函数在 无穷远处的极限概念. 以下分别用记号表示无限增大的过程.x 趋向于负无穷 x 趋向于无穷函数的极限x趋向于正无穷2用数学语言刻划表示表示无限增大.1. 定义定义1记作或无限接近、函数的极限32. 另两种情形函数的极限4解 显然有可见和虽然都存在,
2、但它们不相等.故不存在.例 讨论极限 是否存在?函数的极限Axf x= -)(lim5如果在x的某种趋向下,并不无限接近一个常数, 则称:在x的该种趋向下例 当|x|无限增大时,都不无限接近一个常数,因此都不存在.函数的极限不存在.6函数的极限图形 完全落在:7例证要使成立.只要有解不等式函数的极限8试证证注意有为了使只要使有的图形的水平渐近线(horizontal asymptote).函数的极限结论则直线9用数学语言刻划 无限接近于确定值A.函数的极限二、函数在一点(one-point)的极限101.定义定义2设函数有定义.记作或函数的极限恒有在点x0某去心邻域内11注(1) 定义中的所以
3、 f (x)有没有极限与f (x)在点x0 是否有定义并无关系.(2) 定义中 标志x接近x0的程度,也将越小.(3) 不要求最大的 表示它与一般地说,越小,只要求 存在即可.有关.函数的极限12必存在x0的去心邻域对于此邻域内的 x,对应的函数图形位于这一带形区域内.函数的极限作出带形区域13一般说来,应从不等式出发, 推导出应小于怎样的正数,这个正数就是要找的与 相对应的 这个推导常常是困难的.但是, 注意到我们不需要找最大的所以适当放大些,的式子,变成易于解出找到一个需要的找到 就证明完毕.可把函数的极限14例证例证任函数的极限15例证 函数在点函数的极限处没有定义.要使16例证min函
4、数的极限 可用保证17(1) 证明证由于要使解出只要可取有解不等式,函数的极限18(2) 证明证可取有同样有(自己证).函数的极限193. 左、右极限(单侧极限)例如,函数的极限两种情况分别讨论!20左极限右极限使得时,或使得时,或或或函数的极限21注且性质常用于判断分段函数当x趋近于函数的极限分段点 时的极限.22试证函数证左、右极限不相等,故例函数的极限23左、右极限存在,证故极限不存在.例函数的极限但不相等,讨论的存在性.xxx-= - 0lim24设函数答案总结一下 x的趋向一共有六种: 函数的极限25函数极限与数列极限相比,有类似的性质,定理1(极限的唯一性)有极限,若在自变量的某种
5、变化趋势下,则极限值必唯一.定理2(局部有界性)f(x)有极限,则f(x)在 上有界;f(x)有极限,函数的极限且证明方法也类似.三、函数极限的性质26定理3(局部保号性)证 (1) 设A0,取正数即有自己证函数的极限27只要取便可得更强的结论:证 (1)也即(2)自己证.定理3 (1)的证明中, 不论函数的极限定理 28证假设上述论断不成立,那末由(1)就有在该邻域内这与所以类似可证 的情形.假设矛盾,函数的极限若定理3(2)中的条件改为 必有 不能! 如 是否定理3定理329定理4(函数极限与数列极限的关系)函数的极限如果极限存在,为函数的定义域内任一收敛于x0的数列,那么相应的函数值数列
6、且满足:必收敛,且证 设则有故对有 有即)(lim0xf xx).(lim)(lim0xfxf xxnn=,)(lim0Axf xx= = )(limnnxfA30注以上定理也适用于其它极限过程 等(包括单侧极限), 其结论只需根椐其极限过程,的自变量范围.改动使不等式成立和函数的极限311. 函数极限的或定义;2. 函数极限的性质局部保号性;函数的极限四、小结唯一性; 局部有界性;函数极限与数列极限的关系;3. 函数的左右极限判定极限的存在性.32思考题( A) 先给定 后唯一确定 ;极限定义中 与 的关系是( ).( C) 先确定 后给定 ;(D) 与 无关.B(1)( B) 先确定 后确定 ,但 的值不唯一;函数的极限33(2) 如果 与 存在,则( ).(B) 存在但不一定有(C) 不一定存在;(D) 一定不存在.(A) 存在且C函数的极限34(3)试证提示 仅需在附近讨论问题,如限定即限定在范围内讨论问题. 这时函数的极限35作业习题1-3 (37页)1.(1) (3) 2.(2) 3. 5. 8. 函数的极限36
