波函数的统计解释

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1、第二章 波函数 和 Schrodinger 方程l1 波函数的统计解释 l2 态叠加原理 l3 力学量的平均值和算符的引进 l4 Schrodinger 方程 l5 粒子流密度和粒子数守恒定律 l6 定态Schrodinger方程 1 波函数的统计解释（一）波函数 （二）波函数的解释 （三）波函数的性质 3个问题？ 描写自由粒子的 平 面 波如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能 量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波 描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。称为 de Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。

2、(1) 是怎样描述粒子的状态呢？(2) 如何体现波粒二象性的？(3) 描写的是什么样的波呢？（一）波函数电子源感 光 屏两种错误的看法1. 波由粒子组成如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈 现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在 一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。 PPOQQO事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（ 只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些 量子现象。波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒

3、子的 波动性的一面，具有片面性。2. 粒子由波组成l电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连 续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大 小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 l什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波 振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间， 这是没有意义的，与实验事实相矛盾。 l实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其 广延不会超过原子大小1 。 l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子 也不是波

4、”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们 也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统 一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典概念中 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 粒子意味着 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。经典概念中 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 波意味着 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;QQOPP我们再看一下电子的衍射实验2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.电子源感 光 屏（二）波函数的解释r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附

5、近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几率。l结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个 电子在许多次相同实验中的统计结果。 l波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。在电子衍射实验中，照相底片上 据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微 观客体运动的一种统计规律性，波函数(r)有时也称 为几率幅。这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释， 它是量子力学的基本原理。假设衍射波波幅用 (r) 描述，与光学相似，衍射花纹的强度则用 |(r)|2 描述，但意

6、义与经 典波不同。| (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近 几率的大小，确切的说，| (r)|2 x y z 表 示在 r 点处，体积元xyz中找到粒子的几率。 波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在 这点找到粒子的几率成比例，（三）波函数的性质在t时刻，r点，d=dxdydz体积内，找到由波函数(r,t) 描写的粒子的几率是：d W( r, t) = C| (r,t)|2 d， 其中，C是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：（1）几率和几率密度在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是：w( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)

7、|2 称为几率密度。在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = V dW = Vw( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d（2） 平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭 情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即 ：C | (r , t)|2 d= 1, 从而得常数 C 之值为： C = 1/ | (r , t)|2 d这即是要求描写粒子量子 状态的波函数必须是绝 对值平方可积的函数。若 | (r , t)|2 d , 则 C 0, 这是没有意义的。注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题 ，以后再予以讨论。 （3）归一化

8、波函数这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相 应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经 典波无归一化问题。 (r , t ) 和 C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的 相对几率之比是： 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率 只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大 小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) 和 C (r, t) 描述同一状态可见， (r , t ) 和 C (r

9、, t ) 描述的是同一几率波， 所以波函数有一常数因子不定性。归一化常数l若 (r , t ) 没有归一化， | (r , t )|2 d= A （A 是大于零的常数 ），则有 |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1 也就是说，(A)-1/2 (r , t )是归一化的波函数， 与 (r , t )描写同一几率波，(A)-1/2 称为归一 化因子。 注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性 。 若 (r , t )是归一化波函数，那末 ， expi (r , t ) 也是归一化波函数 （其中是实数），与前者描述同一几率波。（4）平面波归一化I Dirac 函数 定义：或等价的

10、表示为：对在x=x0 邻域 连续的任何函数 f（x）有：函数 亦可写成 Fourier 积分形式：令 k=px/, dk= dpx/, 则性质：0x0xII 平面波 归一化写成分量形式t=0 时的平面波考虑一维积分若取 A12 2 = 1，则 A1= 2-1/2, 于是平面波可归一化为函数三维情况：其中注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依 然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同 。作 业 补 充 题2 态叠加原理l（一）态叠加原理l（二）动量空间（表象）的波函数（一）态叠加原理l微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉 和衍射的本质在于波的叠加性，即可相

11、加性，两 个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学 中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加 原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系 的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学 的波叠加原理称为态叠加原理。考虑电子双缝衍射 l= C11 + C22 也是电子的可能状态。 l空间找到电子的几率则是： l|2 = |C11+ C22|2 l = (C1*1*+ C2*2*) (C11+ C22) l = |C1 1|2+ |C22|2 + C1*C21*2 + C1C2*12*P12 S1S2电子源感 光 屏电子穿过狭缝 出现在点 的几率密度电子穿过狭缝 出现在点 的几率密度相干项 正是由

12、于相干项的 出现，才产生了衍 射花纹。一个电子有 1 和 2 两种可能的状 态， 是这两种状 态的叠加。态叠加原理一般表述： 若1 ，2 ,., n ,.是体系的一系列可 能的状态，则这些态的线性叠加 = C11 + C22 + .+ Cnn + . (其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.为复常数)。 也是体系的一个可能状态。 处于态的体系，部分的处于 1态，部分的处于2 态.，部分的处于n，.一般情况下，如果1和2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加 = C11 + C22 也是该体系的一个可能状态. 其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠 加原理。例：电子在晶体表面反射后

13、，电子 可能以各种不同的动量 p 运 动。具有确定动量的运动状态 用de Broglie 平面波表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示 成 p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。dp（二）动量空间（表象）的波函数l (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数； lC(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量表象波函数； l二者描写同一量子状态。波函数(r,t) 可用各种不同动量的平面波表示， 下面我们给出简单证明。展开 系数令 则 可按p 展开若 (r,t)已归一化，则 C(p, t

14、)也是归一化的。3 力学量的平均值和算符的引进 （一）力学量平均值 l（1）坐标平均值 l（2）动量平均值 l（二）力学量算符 l（1）动量算符 l（2）动能算符 l（3）角动量算符 l（4）Hamilton 算符（一）力学量平均值在统计物理中知道： l当可能值为离散值时: 一个物理量的平均值等于物理 量出现的各种可能值乘上相应的几率求和； 当可能值 为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相 应的几率密度求积分。 基于波函数的几率含义，我们 马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维 情况，然后再推广至三维。（1）坐标平均值为简单计，剩去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化） 设(x) 是