概率论知识点柴文义

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1、1 课上没有讲的或自学的内容不作为考试内容，如下：概率论部分 P110 协方差矩阵 P122 定理二数理统计部分 P130 6.2 直方图与箱线图 P137 经验分布函数 P143 定理四 P156 7.2 基于截尾样本的最大似然估计 P168 7.6 （01）分布参数的区间估计 P165 、P184 、P191 涉及双正态总体参数的置信区间和假设检验 P192 8.4 及之后的所有内容目录第一章随机事件和概率. 2第一节基本概念 . 21、排列组合初步( 理解简单内容即可，不需太难的题目) . 22、随机试验、随机事件及其运算. 23、概率的定义和性质. 34、五大公式（加法、减法、乘法、全

2、概、贝叶斯）. 35、事件的独立性和伯努利试验. 4第二章随机变量及其分布. 5第一节基本概念 . 51、随机变量的分布函数. 62、常见分布 . 83、随机变量函数的分布. 10第二 节一维随机变量函数Y=g(X) 的分布 10第三章二维随机变量及其分布. 12第一节基本概念 . 121、二维随机变量的基本概念. 122、随机变量的独立性. 143、简单函数的分布. 15第四章随机变量的数字特征. 18第一节基本概念 . 181、一维随机变量的数字特征. 182、二维随机变量的数字特征. 19第五章大数定律和中心极限定理. 22第一节基本概念 . 221、切比雪夫不等式. 222、大数定律

3、. 223、中心极限定理. 23第六章数理统计的基本概念. 252 第一节基本概念 . 251、总体、个体和样本. 252、统计量 . 253、三个抽样分布（2、t 、F 分布） . 264、正态总体下统计量的分布和性质. 27第七章参数估计 . 28第一节基本概念 . 281、点估计的两种方法. 28第八章假设检验 . 32第一章随机事件和概率第一节基本概念1、排列组合初步( 理解简单内容即可，不需太难的题目)（1）排列组合公式)!(!nmmPn m从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!( !nmnmCn m从 m个人中挑出n 个人进行组合的可能数。(2) 加法原理（两种方法均能完

4、成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。(3) 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m 3 n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由 m 3 n 种方法来完成。(4) 一些常见排列 特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分辨 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件 顺序问题2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，

5、则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（2）事件的关系与运算关系：如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA3 如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与 B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=?，则表示 A与 B不可能同时发生，称事件A与事件 B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A。它表示 A

6、不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率： A(BC)=(AB)C A (BC)=(A B)C 分配率： (AB) C=(AC)(BC) (A B)C=(AC)(BC) 德摩根率：11iiiiAA BABA，BABA3、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A) ，若满足下列三个条件： 1 0P(A) 1， 2 P( ) =1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，,有11)(iiiiAPAP常称为可列（完全）可加性。则称 P(A) 为事件A的概率。（2）概率的性质（3）古典概型（等可能概型）1n21,，2 nPPPn1)()()(21。设

7、任一事件A，它是由m21,组成的，则有P(A)=)()()(21m=)()()(21mPPP nm基本事件总数所包含的基本事件数A4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)；当 P(AB)0 时， P(A+B)=P(A)+P(B) （2）减法公式4 P(A-B)=P(A)-P(AB)；当 BA时， P(A-B)=P(A)-P(B)；当 A=时， P(B)=1- P(B) （3）条件概率和乘法公式定义 设 A、B是两个事件，且P(A)0，则称 )()(APABP为事件 A发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为)/(ABP)()(AP

8、ABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，对事件A1，A2，, An，若 P(A1A2,An-1)0 ，则有21(AAP,)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP,21|(AAAPn,)1nA。（4）全概公式设事件nBBB,21满足1nBBB,21两两互不相容，),2, 1(0)(niBPi，2niiBA1， 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。此公式即为全概率公式。（5）贝叶斯公式设事件1B，2B，,，nB及

9、A满足11B，2B，,，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，,，n，2niiBA1，0)(AP， 则njjjii i BAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1 ，2，, n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP， （1i，2，,，n） ，通常叫先验概率。)/(ABPi， （1i，2，,，n） ，通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的 “结果”，而1B，2B，,，nB理解为 “原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。注：用全概公式及贝叶斯公式时，一定要将事件设出来，并且写出所用公式。5、事件的独立性和伯努利试验（1）两个事件的独立性设事

10、件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP5 所以这与我们所理解的独立性是一致的。若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。由定义，我们可知必然事件和不可能事件? 与任何事件都相互独立。 同时，? 与任何事件都互斥。（2）多个事件的独立性设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ；P(BC)=P(B)P(C) ；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)

11、P(C) ，那么 A、B、C相互独立。对于 n 个事件类似。两两互斥互相互斥。两两独立互相独立？（3）伯努利试验定义我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率， 则A发生的概率为qp1， 用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk,2, 1 ,0。1. 每箱产品有10 件，其次品数为0，1，2 等可能。现开箱检验，从中任取两

12、件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合格，否则认为该箱产品合格。(1)求该箱产品通过检验的概率。(2)现该箱产品已经通过检验，求该箱产品中恰有1 件次品的概率。解 设事件A表示“取到的两件都是合格品”，事件iB表示“该箱产品有i件次品”(0,1,2)i，依题意有（1）由全概率公式，30( )() ()ii iP AP B P A B22 98 22 101011110910.81333135CCCC(2) 由贝叶斯公式，11 1() ()()( )P B P A BP B AP A2 9 2 1013360.33109109 135CC第二章随机变量及其分布第一节基本概念在许多试验中， 观察的

13、对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此 P(A) 这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数字）。但是观察硬币出现正面还是反面， 就不能简单理解为普通函数。但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。当出现正面时，6 规定其对应数为“ 1”；而出现反面时，规定其对应数为“0”。于是)(XX ，当反面出现，当正面出现01称X为随机变量。 又由于X是随着试验结果 （基本事件） 不同而变化的， 所以X实际上是基本事件的函数，即 X=X() 。同时事件 A包含了一定量的（例如古典概型中A包含了 1，2，, m，共 m个基本事件），于是 P(A)

14、可以由 P(X( ) 来计算，这是一个普通函数。定义设试验的样本空间为， 如果对中每个事件都有唯一的实数值X=X()与之对应，则称 X=X()为随机变量，简记为X。有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的情况。这就使得我们 对随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法 也可用来研究随机现象了。一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数） ，则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。1、随机变量

15、的分布函数（1）离散型随机变量的分布率设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2, ) 且取各个值的概率，即事件(X=Xk) 的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2, ,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，,2, 1k，（2）11kkp 。（2）分布函数对于非离散型随机变量，通常有0)(xXP，不可能用分布率表达。例如日光灯管的寿命X，0)(0xXP。所以我们考虑用X落在某个区间,(ba内的概率表示。定义设X为随机变量，x是任意实数， 则函数)()(xXPxF称为随

16、机变量X 的分布函数。)()()(aFbFbXaP可以得到 X落入区间,(ba的概率。也就是说，分布函数完整地描述了随机变量X随机取值的统计规律性。分布函数)(xF是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（， x 内的概率。)(xF的图形是阶梯图形，,21xx是第一类间断点， 随机变量X在kx处的概率就是)(xF在kx处的跃度。分布函数具有如下性质：7 1, 1)(0xFx；2)(xF是单调不减的函数，即21xx时，有)(1xF)(2xF；30)(lim)(xFF x，1)(lim)(xFF x；4)()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5)0()()(xFxFxXP。（3）连续型随机变量的密度函数定义 设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有x dxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。)(xf的图形是