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1、第九章 常微分方程数值解法 1 引言 一、有关常微分方程 二、数值解法三、数值解法的三种类型 一、有关常微分方程1. 什么是常微分方程的初值问题 ？理论上可以证明：只要函数f(x，y)适当光 滑关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件常微分方程初值问题则初值问题的解存在唯一。例思考：常微分方程中的未知数是什么？2.常微分方程的一般解(解析解)对一些典型的微分方程(可分离变量方 程，一阶线性方程等等)，有可能找出它们 的一般解表达式，然后用初始条件确定表 达式中的任意常数，这样解即能确定。 例如 求解解：分离变量得 dy=2xdx积分得y=x2+c由初值得c=0故解为y=x2 注：生产和科研
2、中所处理的微分方 程往往很复杂且大多得不出一般解 二、常微分方程的数值解由于在实用上对初值问题，一般 是要求得到解在若干点上满足规定 精确度的近似值yi，或者是得到一 个满足精确度要求的便于计算的近 似表达式。故常微分方程的数值解就是求出 在若干点上解的近似值。 定义：常微分方程初值问题的数值解一般是指在由初始点x0开始的若干 离散的x值处，即对x0x1x2xn， 求出准确值y(x1),y(x2),，y(xn)的近似 值y1，y2，yn 本章只讨论x0, x1,xn等距的情 况，设xi+1-xi = h, i = 0, 1, , n-1上式中的h值称为步长 .对于常微分初值问题一般解 y =
3、y(x)数值解x x0 x1 x2 xn y y0 y1 y2 yn 注：本章使用的符号y(xi)：一般解y=y(x)在x=xi处的精确值.yi：一般解y=y(x)在x=xi处的近似值.三、数值解法的三种类型1.用差商代替导数 由导数定义 故若h的值较小，则有 代入y= f (x,y)可得 即 y(x+h)y(x)+hf(x,y) 故原初值问题可离散化为 于是由初始值y(x0)=y0出发，可 依次地计算出y1=y0+hf(x0,y0)y2=y1+hf(x0+h,y1) yn=yn-1+hf(x0+(n-1)h,yn-1) 2.使用泰勒公式在微分方程y=f(x,y)中，y是x及 y(x)的函数.
4、由于精确值y(x+h)在 h=0处的泰勒展式为 根据y=f(x,y)，得公式若取泰勒展式的前两项，则有 y(x+h)y(x)+hy(x)又因为y=f(x,y)，故故若取泰勒展式的前三项，则可 得公式 与上类似，一般可取公式为如下形 式 注：应用泰勒公式求数值解，从形式上看简单，其实具体构造这种公式往往是相当 困难的，因为它需要提供导数值，y(j)n当阶 数提高时，求导过程可能很复杂，因此泰勒 公式通常不直接使用，但可以用它来启发思 路。 3.使用数值积分的方法对于微分方程 y=f(x,y)两边求x0到 x的定积分 即 或写为 这就是与初值问题等价的积分方程。只要用某种数值 积分方法便可建立起近似公式。 例：对积分部分应用左矩形公式，则 有 例：对积分部分应用梯形公式，则有 故其数值公式为 其特点是yi+1表示成xi，xi+1及yi的 隐函数.
