数字信号处理

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1、1滤波器 信号通过某个系统，虑除某些无用的频率成分，而保留有用的成分，这样的系统称为滤波器。第五章 数字滤波器(Digital Filter)23通过系统后，使输出 不含有的频率成分， 的频率无失真通过。数字滤波器若滤波器的输入、输出都是数字信号，则滤波器的单位冲激响应必是离散的，这样的滤波器称为DF (Digital Filter)。4DF是一种具有频率选择性的离散线性不变系统，可利用硬件实现（延时器、乘法器、加法器），也可在通用计算机上用软件实现（线性卷积程序）。实现容易、稳定性高、精度高、灵活性大，应用广泛。56有用成分和希望去除的成分各自占有不同的频带，通过一个线性系统可将欲去除的成分

2、有效去除。7分类: 低通(LP), 高通(HP),带通(BP), 带阻(BS) 。每一种又有模拟(AF)、数字(DF)两种滤波器。8从含有噪声的数据记录(又称时间序列)中估计出信号的某些特征或信号本身。包括：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测、自适应滤波器等。9对数字滤波器, 从实现方法上划分, 有IIR滤波器和FIR滤波器之分, 系统函数分别为:10IIR系统：FIR系统：令IIR系统中则可认为：111）确定实际滤波器的性能指标要求；2）用因果稳定系统（IIR）或（FIR）逼近实 际性能要求；3）选择合适的结构、字长及处理方法；4）采用通用或专用软件或硬件来具体实现。数字滤波器的设计是确定其

3、系统函数并实现的过程。包括：12课程主要讨论数字滤波器系统函数的逼近过程（第二步）。包括无限长冲激响应（IIR）和有限长冲激响应（FIR）两类数字滤波器系统函数的逼近（设计）。1314图中频率为数字频率，由于数字采样频率 折叠频率为：按照奈奎斯特采样定理，频率响应只 能限于：故只考虑的频率范围。但同时需给出抽样频率。15数字滤波器的设计就是对理想频 率响应特性的逼近。一般以频率响应的幅度特性的允 许误差来表征。在通带内幅度响应以在阻带内幅度响应以小于的误差接近1误差接近016通、阻带之间为过渡带：横轴频率（在DF下）为数字域频率，以相当于模拟频率以抽样率 为周期， 为对称点。为周期，并以 为对

4、称点。或17181920系统函数差分方程数 字 系 统 表 示 方 法系统的单位取样响应h(n)21研究数字滤波器一般包括：研究数字滤波器一般包括：（1）由滤波器结构分析其运算功能或频率特性：包括H(Z)，H(ejw），h(n)，差分方程。（2）由滤波器技术指标设计出系统函数H(Z)，再由H(Z)画出实现结构（软件运算结构或硬件实现结构）。221）滤波器的基本特性(如有限长冲激 响应与无限长冲激响应)决定了结构上 有不同的特点；2）不同结构所需的存储单元（复杂性 ）及乘法次数（运算速度）不同；234）好的滤波器结构应该易于控制滤波 器性能，适合于模块化实现，便于时 分复用。3）不同运算结构的误

5、差、稳定性是不 同的（有限字长情况下）。一、数字滤波器结构的表示方法二、IIR滤波器的基本结构三、FIR滤波器的基本结构2425数字滤波器结构中有三个基本的运算单元： 加法器 单位延时 乘常数的乘法器26这三种基本运算单元有两种表示法：方框图法和信号流图法 。一个滤波器的运算结构也有这两种表示方法。27方框图信号流图28 信号流图是一种有向图 用带箭头的有向线段来代表一条支路 箭头的方向代表信号流动的方向 有向线段上标注出支路的传输值29 支路的两个端点称为节点； 每个节点处的信号称为节点变量，节点 变量的大小等于流入节点变量之和； 只有信号流出没有信号流入的节点称为 源节点或输入节点； 只有

6、信号流入没有信号流出的节点称为 汇节点或输出节点。30数字网络的信号流图表示数字网络的信号流图表示 通路：沿同一方向传输的连通支路 环路：闭合的通路 环路增益 ： 环路中所有支路增益之积 前向通路 ：从输入节点到输出节点通过任何节点仅一次的通路 前向通路增益：前向通路中所有支路增益之积31二阶数字滤波器的例子：可清楚地看出运算步骤和运算结构。32IIR滤波器的特点：1）系统的单位冲激响应h(n)是无 限长的； 2）系统函数H(z)在有限z平面上有极点存在； 3）结构上存在着输出到输入的反 馈，也就是结构上是递归型的。 系统函数 差分方程 是个ARMA filter. ak: 递归项(auto-

7、regression, AR) bk: 平均项(moving averaging, MA) N: 滤波器的阶数当M=N, H(z): N阶 IIR系统+(M-N)阶的FIR系统,以上两种表示等价，部分分式形式和零极点 增益形式3435同一种IIR系统函数H(z)的基本网络 结构有四种形式：I I R I I R 数字滤波器数字滤波器直接型级联型转置型并联型直接型直接型36实现N阶差分方程的直接I型结构37M=N381）可直接差分方程或系统函数的标准形式画出。两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点（分子，输入），第二个有反馈的N节延时网络实现极点（分母，输出） 。需要N+M级延时单元。

8、393）容易出现不稳定或产生较大误差（极点对系数变化过于灵敏，即对有限字长运算过于灵敏）；2）调整滤波器性能困难（系统函数系数不是直接决定单个零、极点，零、极点位置不易控制）；40原理：一个线性移不变系统，若交换其 级联子系统的次序，系统函数不变。把该原理应用于直接I型结构，即：(1)交换两个级联网络的次序。(2)合并两个具有相同输入的延时支路 。这样就得到另一种结构，称为直接II 型结构。41直接II型合并延时42432）调整滤波器性能困难（系统函数零、极点位置不易控制）；1) 两个网络级联：第一个有反馈的N节延时网络实现极点，第二个横向结构M节延时网络实现零点。443）容易出现不稳定或产生

9、较大误差（极点对系数变化过于灵敏，即对有限字长运算过于灵敏）；4）只需要N（NM)级延时单元。45将系统函数按零、极点进行因式分解，表 示为基本二阶子系统的乘积形式：46将共轭因子组合成实系数的二阶因子，两 个一阶构成一个二阶有：将单实根因子看作二阶因子的特例：47如果M=N，则有 ：48H1（Z）H2（Z）Hm（Z）。X(n)Y(n)级联结构：即：表示取整。其中49H(Z)的实现结构即可表示为基本二阶节 的级联形式。每个二阶节用典范型实现 ：Z-1Z-150如六阶(M=N=6)IIR滤波器的级联结构 ：A51(1)为什么二阶节是最基本的?因为二阶节是 实系数，而一阶节一般为复系数。(2)统一

10、用二阶节表示，保持了结构上的一致 性，有利于时分多路复用。(3)级联结构与并联结构的基本二阶节是不同 的。(4)级联的基本二阶节可任意组合，故级联结 构组成灵活，不是唯一的。521）便于调整滤波器频率响应性能（每一个零、极点都可以单独调整，相互不影响）；2）零、极点可以任意组合成一个基本节，因 而在有限字长运算时，对于不同的配合与排列 次序，存在最优化的问题；3）在定点制运算中可能产生溢出现象；4）级联结构具有最少的存储器。53将系统函数展成部分分式的形式，有：式中54将共轭因子组合成实系数的二阶因子 ，当N=M时，有：将一阶实极点也组合成实系数二阶多 项式，当N=M时，有：55并联结构：即其

11、中H1（Z）H2（Z）Hm（Z）X（n）Y（n）56H(Z)的实现结构即可表示为基本二阶节 的并联形式。每个二阶节用典范型实现 ：Z-1Z-1Z-1Z-1级联形式二阶节:571）可以单独调整一对极点位置，但不能单独调整零点位置；因此不适用于要求精确传输零点的场合。2）有限字长计算时误差小（各并联基本节的误差互相没有影响，累加即可）。58例：设系统用下面差分方程描述：试分别画出系统的直接型、级联型和并联型结 构。差分方程中x(n)和 y(n)分别表示系统的输 入和输出信号。解：将上式进行Z变换，得到59直接I型结构：Y（n）X（n）Z-1Z-13/4-1/81/3Z-160直接II型结构：Z-1

12、Z-13/4-1/81/3Y（n）X（n）Y1（n）61级联型结构：将H(z)的分母进行因式分解按照上式有两种级联型结构：62Z-1Z-1 1/21/41/3Y（n）X（n ）Z-1Z-1 1/41/21/3Y（n）X（n ）63并联型结构：将H(z)进行部分分式展开64X（n ） Z-1Z-11/2-7/3Y（n）1/410/365内容：如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则其系统函数H(z)仍不改变。作用：得到各种新的网络结构。例：5、转置定理66X（n）Z-1Z-11/2-7/3Y（n）1/410/3X（n）Z-1Z-11/2-7/3Y（n）1/4

13、10/3例：并联型结构：转置后的并联型结构：67调换X(n),Y(n)后的并联型结构：X（n）Z-1Z-11/2-7/3Y（n）1/410/3转置后的并联型结构：X（n）Z-1Z-11/2-7/3Y（n）1/410/368X（n）Z-1Z-11/2-7/3Y（n）1/410/3Y1（n）Y2（n）上半部分对应：转置后的并联型结构：下半部分对应：69二者并联型组成：与原来完全一致。70FIR滤波器的特点：1）系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零；2）系统函数H(z)在 处收敛，在有限z平面 处只有零点，而全部极点都在z=0处（稳定系统）；71FIR滤波器的特点：3）结构上主要是非递归结

14、构，没有反馈。但有些结构中(例如频率抽样结构)也包含有反馈的递归部分。72横截型（卷积型、直接型）级联型频率抽样型快速卷积结构线性相位FIR滤波器的结构73一般FIR滤波器的横截型结构：设FIR滤波器的单位冲激响应h(n)为一个 长度为N的序列，0=n=N-1 ，则滤波 器系统函数为：表示这一系统输入输出关系的差分方程为 ：74直接由差分方程得出的实现结构如下图所示 ：75转置结构：76将H(z)分解成实系数二阶因子的乘 积形式，有这时FIR滤波器可用二阶节的级联结构来 实现，每个二阶节用横截型结构实现。 77特点：1）可以控制传输零点；2）所需乘法次数比卷积型多；FIR滤波器的级联型结构（N

15、为奇数）78频率插值函数：令：则：79在单位圆上有N个等间隔角度的零点：频率响应为：级联的第一部分为： 表示N节延时单元构成的梳状滤波器,80梳状滤波器的幅频特性:幅频特性为：它滤掉了频率 及其各次谐波。81表示N个无损耗谐振器,谐振频率为：级联的第二部分为N个一阶网络并联而成，每个一阶网络在单位圆上有一个极点：82每个个谐振器的极点正好与梳状滤波器的一个零点(i=k)相抵消，从而使这个频率上的频率响应等于H(k)。N个谐振器的N个极点就和梳状滤波器的N个零点相抵消，从而在N个频率抽样点上的频率响应就分别等于N个H(k)值。83FIR滤波器的频率抽样结构:841）系数H(k)就是滤波器在 处的

16、响应，故可以很方便控制滤波器的频率响应；2） 所有极点都在单位圆上，当系数量化时，极点会移动，有些极点就不能被零点所抵消(零点由延时单元决定，不受量化的影响) ，甚至有时极点移动到单位圆外，系统就不稳定。853）结构中所乘的系数H(k)及 一般是复数，所需乘法次数和存储量增加；86为了克服系数量化后可能不稳定的 缺点（ ），可将所有零、极点都 移到单位圆内某一靠近单位圆、半径为 r（ ）的圆上进行修正。87此时：由于：所以：因此：88修正后的频率抽样实现结构为：89例：已知FIR滤波器的单位冲激响应为试用频率抽样结构实现该滤波器，设采样点数N=5，画出频率抽样结构图。解：9091X（n ） Z-1Y（n）H(0 )1/5H(1 )H(2 )H(3 )Z-1Z-1Z-1Z-1H(4 )-Z-5频率抽样结构图：92若F