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1、4 线性多步法 /* Multistep Method */用若干节点处的 y 及 y 值的线性组合来近似 y(xi+1)。).(.110111101kikiiikikiiiffffhyyyy+=其通式可写为：当 10 时，为隐式公 式; 1=0 则为显式公式 。 基于数值积分的构造法将 在 上积分，得到只要近似地算出右边的积分 ，则可通 过 近似y(xi+1) 。而选用不同近似式 Ik，可得到不同的计算公式。4 Multistep Method 亚当姆斯显式公式 /* Adams explicit formulae */利用k+1 个节点上的被积函数值 构造 k 阶牛顿 后插多项式 , 有N
2、ewton 插值余项/* 显式计算公式 */局部截断误差为：例：k=1 时有4 Multistep Method注：一般有 ，其中Bk 与yi+1 计算公式中 fi , , fik 各项的系数均可查表得到 。 10123kfifi1fi2fi3BkMisprint on p.?常用的是 k = 3 的4阶亚当姆斯显式公式4 Multistep Method 亚当姆斯隐式公式 /* Adams implicit formulae */ 利用k+1 个节点上的被积函数值 fi+1 , fi , , fik+1 构造 k 阶 牛顿前插多项式。与显式多项式完全类似地可得到一系列 隐式公式，并有 ，其中
3、 与 fi+1 , fi , , fik+1 的系数亦可查表得到。10123kfi+1fifi1fi2Bk常用的是 k = 3 的4阶亚当姆斯隐式公式小于Bk较同阶显 式稳定4 Multistep Method 亚当姆斯预测-校正系统 /* Adams predictor-corrector system */Step 1: 用Runge-Kutta 法计算前 k 个初值；Step 2: 用Adams 显式计算预测值；Step 3: 用同阶Adams 隐式计算校正值。注意：三步所用公 式的精度必须相同 。通常用经典 Runge-Kutta 法配 合4阶Adams 公式 。Hey! Look a
4、t the local truncation error of the explicit and implicit Adams methods: and Dont you think theres something you can do?4阶Adams隐式公式的截断误差为4阶Adams显式公式的截断误差为当 h 充分小时，可近似认为i i ，则：Predicted value pi+1Modified value mi+1Corrected value ci+1Modified final value yi+1外推技术 /* extrapolation */4 Multistep Metho
5、dAdams 4th-Order predictor-corrector Algorithm To approximate the the solution of the initial-value problemAt (N+1) equally spaced numbers in the interval a, b. Input: endpoints a, b; integer N; initial value y0 . Output: approximation y at the (N+1) values of x. Step 1 Set h = (b a) / N ; x0 = a; y
6、0 = y0; Output ( x0, y0 ); Step 2 For i = 1, 2, 3Compute yi using classical Runge-Kutta method; Output ( xi , yi ); Step 3 For i = 4, , N do steps 4-10Step 5 ; /* predict */Step 6 ; /* modify */Step 7 ; /* correct */Step 8 ; /* modify the final value */Step 9 Output ( xi+1 , yi+1 );Step 10 For j = 0
7、, 1, 2, 3Set xi = xi+1 ; yi = yi+1 ; /* Prepare for next iteration */Step 11 STOP. 应为( ci+1 pi+1 ), 但因ci+1 尚未 算出，只好用( ci pi )取代之 。4 Multistep Method 基于泰勒展开的构造法).(.110111101kikiiikikiiiffffhyyyy+=将通式中的右端各项 yi1, , yik ; fi+1, fi1, , fik 分别在 xi 点作泰勒展开，与精确解y(xi+1) 在 xi 点的泰勒展开作比较。通过令同 类项系数相等，得到足以确定待定系数0,
8、 , k ; 1, 0, , k 的等式，则可构造出线性多步法的 公式。例：设)(3322110221101+=iiiiiiiiyyyyhyyyy确定式中待定系数0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 使得公式具有4阶 精度。4 Multistep Method解：/* y(xi) = yi */个未知数个方程754 Multistep Method 令 1 = 2 = 0Adams 显式公式 以 yi+1 取代 yi1，并取 1 = 2 = 0Adams 隐式公式 以 yi3 取代 yi3 ，则可导出另一组4 阶显式算法，其中 包含了著名的米尔尼 /* Milne */ 公式其局部截断误差
9、为注：上式也可通过数值积分导出，即将 在区间上积分，得到 再过 做 f 的插值多项式即可。取 1 = 1, 2 = 0 得到辛甫生 /* Simpson */ 公式 与Milne 公式匹配使用 辛甫生 /* Simpson */ 公式在区间xi1, xi+1上积分，并用 Simpson数值积分公式来近似积 分项，亦可得此Simpson公式。4 Multistep Method Milne-Simpson 系统的缺点是稳定性差，为改善稳定性， 考虑另一种隐式校正公式：要求公式具有4 阶精度。通过泰勒展开，可得到 个等式 ，从中解出 个未知数，则有 个自由度。5 61取 1 = 1 得 Simpson 公式哈明 /* Hamming */ 用1 的不同数值进行试验，发现当1 = 0 时，公式的稳定性较好，即：其局部截断误差为注：哈明公式不能用数值积分方法推导出来。
