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1、Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论主 要 内 容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理1.1矢量的代数运算 一.矢量与矢量表示1.物理量的分类物理量与位置无关：时间、长度、质量与位置有关 （场量）标量场（只有大小）：温度、湿度、电位 矢量场（大小+方向）：速度、电场、磁场 Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论单位矢量：模等于1的矢量。与矢量同方向的单位矢量表示为：2.矢量
2、与单位矢量任一个矢量 可以用其模（代表大小）和单位矢量（代表矢量方 向）来表示：3.矢量表示法三维空间中，矢量 可表示为一根有方向的线段。线段的长度代表 矢量的模，线段的方向代表矢量的方向。Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论 直角坐标系下矢量表示：大小：方向（单位矢量） ： 4. 位置矢量和距离矢量位置矢量（矢径）：从原点指向空间某一点的矢量。距离矢量从空间某一点（源点）指向另一点（场点）的矢量大小：方向(单位矢量)：Nanjing University of Information
3、Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论二矢量的代数运算：用公式(代数方法)和图形(几何方法)1.矢量相等判定能使用两种方法判定矢量 是否相等吗？Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论 几何方法：让两个矢量平移至它们的始点重合，此时，若它们的终点也重合，则表明它们是相等的。即 。 代学方法：若 两矢量的对应分量相等，则 。例如：在直角坐标系中，若 ，则 。Nanjing University of Information Science & Techno
4、logy第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论2.矢量与标量的乘积 几何方法： 为实数， 放大， 缩小， 方向不变， 方向相反。 代学方法：（标量与矢量的各个分量相乘），即3.矢量的加减Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电
5、磁场与电磁波理论4.矢量的标量积与矢量积 Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论1.2 标量场的方向导数与梯度一. 标量场的方向导数场 ：空间中的每一个点都对应着某个物理量的一 个确定值， 称为该空间中定义了这个物理量 的场或者函数标量场：描述场的物理量是标量的场矢量场：描述场的物理量是矢量的场静态场：描述场的物理量不随时间变化的场时变场：描述场的物理量随时间变化的场1. 标量场和矢量场Nanjing University of Information Science & Technolo
6、gy第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论2. 标量场的等值面和方向导数等值面:由描述标量场的物理量数值相同的点构成的曲面。即场 函数 ，它表示一空间曲面等值面特点:互不相交Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论例如标量场 在 点沿 方向上的方向导数定义为方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。 式中， 为 点处沿 方向的方向余弦，即 单位向量 在坐标轴上的投影。则Nanjing University of Information Science & Techn
7、ology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论二. 标量场的梯度因 点是场中任意点，则可略去上述方向导数中的下标 ，则Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论矢量 的特点：1）垂直于考察点处的等值面的切平面；2）总是指向函数增大的方向，也就是曲面正法线方向；3）大小反映场值变化快慢。Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论梯度:标量场在某点最大方向导数、连同相应的方向称为标量场在该点的梯度
8、。显然，梯度是一个矢量。在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为式中grad 是英文字母 gradient 的缩写。引入哈密顿算子的矢量符号，在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论 基本公式为常数Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论例：设 和 分别表示空间点P(x,y,z)和点P(x,y,z)的矢经，R表示这两点之间的距离。试证明（1）（2）式中，
9、分别表示对坐标变量 (x,y,z)和(x,y,z)的哈密顿算子Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论1.3 矢量场的通量与散度通量线：在场中画一些曲线，曲线上的每一点的切线方向代表该点矢量场方向，而横向的通量线密度代表该点矢量场大小。一. 矢量场的通量通 量：矢量场 穿过曲面 的通量线的总数。用公式表示如下式中，矢量面积元 ，而 为 的法向单位矢。Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论
10、说明：1）通量可以为正数、负数或零，此处，正、负仅仅反映通量线从那一侧穿过曲面；2）对非闭合曲面，其法线方向需事先规定；对闭合曲面，其法向一般规定由闭合曲面内部指向外部，相应积分为3）通量反映(净)源发出或(净)沟吸收通量线的情况，相应场矢量可称为通量密度。Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论二. 矢量场散度散度：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 在该点的散度，以 div 表示，即式中div 是英文字母 divergence 的缩写， V 为闭合面 S 包围的体积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。 Nanjing University of Information Science & Technology第一章 矢量分析 电磁场与电磁波理论可以证明，在直角坐标系中散度可表示为 结合前面的哈密顿算子，则有 式中， 为在直角坐标系中 的三个分量，即 Nanjing University of Information
