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1、 例1：子弹的质量为0.01kg ，运动速度为1000m/s，电子 质量为9.11 10-31 kg，运动速度为5 106m/s ，试求子弹 和电子的de Broglie 波长。经典物理中的波与量子力学中的态都遵从叠加原理，两者 在数学形式上完全相同，但在物理本质上则完全不同。经典 波，如光波、声波等几个波同时在空间某点相遇，各个波在 该点引起振动的线性叠加。一般导致一个新的波，具有新的 特点。德布罗意波的叠加，例如两个波的叠加= c1 1+ c 22假如体系处于1所描述的状态下，测量某力学量A所得结 果是个确定值a，又假设在2所描述的状态下，测量A的结果 为另一确定值b，则在状态下测量A的结
2、果，绝对不是a、b 以外的新值，而可能为a，也可能为b，究竟是哪一个值，不 能肯定，但测到a或b的几率则完全确定，分别为|c1|2或|c2|2 。 量子力学中态的叠加导致在叠加态下测量结果的不确定性。量子力学这种态的叠加与经典波叠加概念之所以有本质的 不同，在于实物粒子的波粒二象性有关态叠加原理的解释例2：已知类氢离子 sp3杂化轨道的一个波函数为：求这个状态的角动量平方平均值的大小。根据正交归一化条件 解1：解2：例3. 势箱模型在化学中的应用1.光波粒二象性的关系式为 。2.德布罗意关系式为 ；宏观物体的值比微观物体的值 E=hv p=h/v=E/h =h/p小习题：3. 计计算动动能为为
3、300eV的电电子的德布罗罗意波长长.解: 已知常数 h=6.62610-34 J/s m=9.1110-31 g 1eV=1.60210-19 J 因此 = 7.0810-9 (cm)由4. 测测不准原理的另一种形式为为Et h/4 当一个电电子从高能级级向低能级跃级跃 迁时时，发发射一个能量子hv， 若激发态发态 的寿命为为10-9 s，试问试问 v 的偏差是多少？由此引起谱线宽谱线宽 度是多少(单单位cm-1)？ E = h/4t = (hv ) = hv v = 1/(4t) = 1/(410-9) = 7.96107 s-1 = v /c = 7.96107 s-1/31010 cm
4、s-1= 2.6510-3 cm-1 5下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx (C) e-ikx (D) (1) 哪些是 的本征函数；- ( ) (2) 哪些是 的本征函数；- ( ) (3) 哪些是 和 的共同本征函数。- ( )BCABCBC6. 维生素A有5个双键，在332nm处有一吸收峰，试 用一维深势阱模型估算维生素A的共轭链长。答：维生素A中每个双键提供一对电子，共有10个电子，在 基态时电子两两配对，共占据五个分子轨道。 分子的最低激发能是将电子从第五个分子轨道激发到第六个 分子轨道所吸收的能量由此可计算出不同链长对应的吸收波长，能较好的与实验相符。 花菁染料的吸
5、收光谱（水溶性染料） 电子数：HOMO: 第 r+2 个轨道（相当于第 n 个）LUMO: 第 r+3 个轨道（相当于第 n+1 个）CH7.CHCHN+R2()rR2N当r=3时，势箱长度约为1.30nm，估算电子跃迁时所吸收的 最大波长，并与实验值510nm比较。已知一维长度为a的势箱中粒子的归一化波函 数为：式中 x 是粒子的坐标（0 x a ）。计算：（a） 粒子坐标的平均值；（b） 粒子动量的平均值。8.解：（a）由于 无本征值，只能求粒子坐标的平均值 ：粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右两个半 边出现的几率各为0.5，即 图形对势箱中心点是对称的。(b)由于 无本征值.
6、可按下式计算 的平 均值。共有11个微观状态解：根据能级公式，立方势箱的态分布具有如下形式：求立方势箱能量 的可能的运动状态数。9.a 决定体系轨道角动量与轨道磁矩的大小;b 决定轨道的形状，且与节点数有关; 径向节面 数为 n-l-1 ；角向节面数为 l ;c 在多电子体系中，l 与能量有关；d 对应不同亚层 l= 0(s)，1(p)，2(d)，3(f)例1：已知 H 原子的某个原子轨道函数 试计算：(1)原子轨道能量E ；(2)轨道角动量|M|和轨道磁矩|；(3)轨道角动量和z轴之间的夹角。(4)该轨道在磁场中能级会不会发生变化？解：首先根据函数形式确定相应的量子数 n=2,l=1,m=0
7、,在没有外加磁场时，氢原子n, l 相同m不同的各状态的能量本来是简并的，当施加外加磁场时，m不同的状态能量就变得不同了.原子的能级在磁场中将进一步发生分裂，这种现象称为ZeemanZeeman效应。效应。Bl=1 m=1 m=0m=-1B=0 B0原子能级磁场中能级分裂图 E = me B例2 对于氢原子，如果 设所有函数都已归一化，请对 所描述的状态计算(1)能量平均值及能量E2出现的几率 (2)角动量平均值及 出现的几率(3)角动量z分量的平均值及Mz= 出现的几率解：根据量子力学原理，对于归一化的波函数， 被迭加的函数i 对其贡献为 ci2,故1. 氢原子波函数 中是算符 的本征函数是
8、 ，算符 的本征函数有 ，算符 的本征函数有 .A B CA B CA C2. 是否分别为： 否习题：3. 求解氢原子的Schrdinger 方程能自然得到 n， l， m， ms四个量子数，对吗？ 4. 对单电子原子来说， 角量子数 l 确定后， 它的轨道角动量矢量是能够完全确定的，对吗？ 5. 对于单电子原子， 在无外场时， 能量相同的轨道数是：- ( ) (A) n2 (B) 2(l+1) (C) 2l+1 (D) n-1 (E) n-l-1 不对不对A6. 试写出 He 原子基态的 Slater 行列式波函数。基态 He 原子的 Slater 行列式波函数为He 原子薛定谔方程为 7.
9、 写出 He 原子的薛定谔方程.8. 写出下列原子能量最低的光谱支项的符号： (a)Si；(b)Mn；(c)Br；(d)Nb；(e)Ni(a) Si:Ne3s23p2 (b) Mn： Ar4s23d5 解：写出各原子的基组态和最外层电子排布（对全充满的电子层 ，电子的自旋相互抵消，各电子的轨道角动量矢量也相互抵消， 不必考虑），根据Hund规则推出原子最低能态的自旋量子数S、 角量子数L和总量子数J，进而写出最稳定的光谱支项。(c) Br：Ar4s24p5(d) Nb：Kr 5s14d4 (e) Ni：Ar4s23d89. 基态Ni原子可能的电子组态为：（a）Ar3d84s2； (b)Ar3d
10、94s1，由光谱实验确定其能量最低的光谱支项为3F4 。试 判断它是哪种组态。所以，基态Ni原子的电子组态为 Ar3d84s2。(a)3F43D3(b)10. 已知类氢离子 sp3杂化轨道的一个波函数为：求这个状态的角动量平均值的大小。 根据态态叠加原理和正交归归一化条件11. 设体系处在状态 =c1 211+ c2 210中， 角动量平方M2和Mz有无定值。若有，其值为多少？若无，则求其平均值。(1) 是 2属于同一本征值2( )2的本征函数的线性组合, 所以， 是 2的本征函数, 其本征值亦为2( )2 (2) 是 z属于本征值h和0的本征函数的线性组合, 它不是 z的本征函数, 其Mz无确定值, 其平均值为=
