高等几何电子教案

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1、高等几何电子教案高等几何电子教案1.平行射影或透视仿射： 1.11.1平行射影与仿射对应平行射影与仿射对应一.两直线间的平行射影与仿射对应若直线 ， 且 、 ，点 A,B,C,D ,过点A,B,C,D作直线的平行线 交于 ，则可得直线 到直线 的 一个映射。称为平行射影或透视仿射，记为TABCD原象点： A,B,C,D 直线a上的点映象点： 直线上 的点平行射影的方向：直线记透视仿射T： 透视仿射与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射OABCD点 O 为自对应点( 同一平面上两相交直线的公共点 )2.仿射（或仿射变换）：仿射是透视仿射链或平行射影链表示透视仿射链，T表示仿射 （如图） 仿此

2、，每一个对应点都可以这样表示。的对应点为 记为： 注：1.仿射是有限回的平行射影组成的 2.判断仿射是否是透视仿射的方法：对应点的联线是否平行 3.书写的顺序与平行射影的顺序是相反的二 . 两平面的平行射影与仿射对应： 1.平行射影 ：如图点A,B,C共线a，则 共线gABCal两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴2仿射：平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透 视 仿射链性质 ：1.透视仿射保留同素性.（几何元素保留同一种类而不改变 ）即点对应点，直线对应为直线. 2.保留点与直线的结合性1.21.2仿射不变性与不变量仿射不变性与不变量定义1 仿射不变性与不变量：经过一切透视仿射

3、不变的性质和数量仿射图形：经过任何仿射对应不改变的图形.仿射性：经过任何仿射对应不改变的性质.仿射量：经过任何仿射对应不改变的数量.定理1 ：两直线间的平行性是仿射不变性.（反证法）推论 平行四边形是仿射不变的图形.定义简比 ：设A,B,C为共线三点，这三点的简比（ABC）定义 为以下有向线段的比：当点 C 在线段 AB 上时，(ABC)0当点 C 在线段 AB或 BA的延长线上时，(ABC)0 当点 C 与点A重合时，(ABC)=0 当点 C 与点B重合时，(ABC)不存在当点 C 为线段 AB的中点时，(ABC)= -1则点C称为分点，A,B 两点称为基点简比(ABC)等于点C分割线段AB

4、的分割比的相反数例1经过点A(-3, 2)和B(6, 1)两点直线被直线x+3y-6=0截 于P点，求简比（ABP）定理2共线三点的简比是仿射不变量.定理3两平行线段之比是仿射不变量.定理2定理5定理4一直线上两线段之比是仿射不变量.在透视仿射下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是 一个常数任意两个三角形面积之比是仿射不变量.推论1在仿射变换下，任何一对对应多边形面积之比是 仿射不变量推论2在仿射变换下，任何两条封闭凸曲线所围成的面 积之比是仿射不变量1.31.3平面内的仿射变换及其决定平面内的仿射变换及其决定一.平面内的透视仿射 设 为平面 到平面 的透视仿射，射影方向为 .设 为平面 到平

5、面 的透视仿射，射影方向为 .则gAB设T将 上的点 A变换为其本身上的点T将 上的点 B变换为其本身上的点aT将 上的点 变换为 上的点,将 上的直线 a 变换为 上 的直线 ,即 T 保留同素性和接合性 . T将 上的相交直线 a, b 变换为 上的相交直线 .T将 上的平行直线 变换为 上的平行直线 .和 的交线g上的每一点经过T不变，且T具有仿射不变性 与不变量，称T为平面 到自身的透视仿射定理1定理2平面内的透视仿射由一对对应轴与一对对应点完全决定给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可使 一个三角形变为另一个三角形定理3原象点不共线，映象点也不共线的三对对应点决定唯一 的仿射变换1.41.4仿射变换的代数表示仿射变换的代数表示设有一正交笛卡儿坐标系xoy，以E为单位点（如图）.一个仿射 变换T将平面上一点P变换为一点 ，求 P的坐标（x,y）和 的坐标 之间的关系. 仿射变换T由三对对应点唯一确定.设 的坐标为X轴上的单位点 的映象 的坐标为 y轴上的单位点 的映象 的坐标为 设 P在坐标轴上 的正射影，且 ， 则T将平行四边形 及 分别变换为平行四边形 及 .由于T保留简比.则xyOP(x,y)或者写为且因为 三点不共线， 三点不共线所以行列式不为O定义1把笛氏坐标系在仿射对应下的象叫仿射坐标系， 叫 点 的仿射坐标，记为