电磁场理论第3章：恒定电场与静磁场

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1、第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）第三章 恒定电流的电场和磁场 3.1 恒定电流的电场3.2 磁感应强度3.3 恒定磁场的基本方程3.4 矢量磁位3.5 磁偶极子3.6 磁介质中的场方程3.7 恒定磁场的边界条件3.8 标量磁位3.9 互感和自感3.10 磁场能量3.11 磁场力 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）3.1 恒定电流的电场 3.1.1 电流密度 图 3-1 电流密度 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）设通过S的电流为I，则该点处的电流密度 J为 电流密度的单位是安培/米2(A/m2)。导体内每一点都有一个电流密度，因而构成一个矢量场。我们称这一矢量场

2、为电流场。电流场的矢量线叫做电流线。可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一般情况下， 电流密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过面积S的电流就等于电流密度J在S上的通量，即 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）图 3-2 面电流密度 电流分类：传导电流与运流电流（见书P48）对于运流电流：第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）2. 电荷守恒定律 （补充图再介绍）应用散度定理得：第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）要使这个积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为零，即 定义的电流为恒定电流第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）3.1.3 欧姆定律的微

3、分形式 材 料 电导 率/(S/m) 铁(99.98% ) 107 黄铜 1.46107 铝 3.54107 金 3.10107 铅 4.55107 铜 5.80107 银 6.20 107 硅 1.5610-3 表 3-1 常用材料的电导率 实验结论：（J为传导电流！）（说明并推导与I=U/R的关系 ）第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）3.1.4 焦耳定律 当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间内电场力对电荷所作的功，即功率是 在导电体中，沿电流线方向取一长度为l、截面为S的体积元，该体积元内消耗的功率为 (板书画图）第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）当V0

4、，取P/V的极限，就得出导体内任一点的热功率密度，表示为 或 此式就是焦耳定律的微分形式。应该指出，焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶格碰撞的热能。 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）3.1.5 恒定电场的基本方程 我们将电源外部导体中恒定电场的基本方程归纳如下： 与其相应的积分形式为 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）电流密度J与电场强度E之间满足欧姆定律 J=E。 由于恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位, E=-。 在均匀导体内部(电导率为常数)，有 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）3

5、.1.6 恒定电流场的边界条件 图 3-4 边界条件 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）或 如前推导可得，恒定电流场的边界条件为 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）例 3-1 设同轴线的内导体半径为a, 外导体的内半径为b，内、 外导体间填充电导率为的导电媒质，如图 3-5 所示，求同轴线单位长度的漏电电阻。图 3-5 同轴线横截面 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体， 设流过半径为r的任一圆柱侧面的漏电电流为I，则媒质内任一点的电流密度和电场为 内、外导体间的电压为 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）电导 于

6、是， 电阻 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）*3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟 表 3-2 恒定电场与静电场的比较 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）3.2 磁 感 应 强 度 图 3-8 安培定律 R第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）安培定律指出：在真空中载有电流I1的回路C1上任一电流元dl1对另一载有电流I2的回路C2上任一电流元dl2的作用力表示为 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）令 (举例说明)(安培力)(毕-萨定理)第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）3.3 恒定磁场的基本方程 1. 磁通连续性原理 磁感应强度在有向曲面上的通

7、量简称为磁通量(或磁通)，单位是Wb(韦伯)，用表示： 如S是一个闭曲面， 则 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）上式中 故可将其改写为 由矢量恒定式 P298(A1.13)P298(A1.1)第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）则有 而梯度场的旋度为零， 所以 积分形式P298(A1.9)第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）使用散度定理， 得到 由于上式中积分区域V是任意的， 所以对空间的各点， 有 上式是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度B是一个无源(指散度源)场。 磁通连续性方程P298(A1.12.)第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）2. 安

8、培环路定律 当穿过积分回路C的电流是几个电流时， 可以将式(3 - 36)改写为一般形式： 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）根据斯托克斯定理，可以导出安培回路定理 的微分形式： 由于 P298(A1.13)第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）因积分区域S是任意的， 因而有 上式是安培环路定律的微分形式，它说明磁场的涡旋源是电流。我们可用此式从磁场求电流分布。对于对称分布的电流， 我们可以用安培环路定律的积分形式，从电流求出磁场。 安培环路定理第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）例: 半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。 解: 在导线内电流

9、均匀分布， 导线外电流为零， r a ra 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）当ra时， 积分回路包围的电流为I； 当ra时，包围电流为Ir2/a2。 当ra时： 当ra时： * 写成矢量形式为 r a ra 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）3.4 矢 量 磁 位 可以令 称式中的A为矢量磁位(简称磁矢位)，其单位是Tm(特斯拉米)或Wb/m(韦伯/米)。矢量磁位是一个辅助量。式仅仅规定了磁矢位A的旋度，而A的散度可以任意假定。因为若B=A，另一矢量A=A+ ，其中是一个任意标量函数，则 令（库仑规范 ）第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）使用矢量恒等式 上式是磁

10、矢位满足的微分方程，称为磁矢位的泊松方程。对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即 *第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）类比静电场公式，得*第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）合并上三个分量式， 将其写成矢量形式： 若磁场由面电流JS产生，容易写出其磁矢位为 同理，线电流产生的磁矢位为 磁通的计算也可以通过磁矢位表示： （类比电位公式）*第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）*例 求长度为l 的载流直导线的磁矢位。图 3-11 直导线磁矢位 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）解 :当lz时，有 上式中，若再取lr, 则有 第三章 恒定电流的电场和磁场

11、 (周学时3节）当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点， 就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0处为磁矢位的零点时，可以得出 从上式， 用圆柱坐标的旋度公式，可求出 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）*例 用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。 解： r a ra 从电流分布可以知道磁矢位仅仅有z分量，而且它只是坐标r的函数，即 设在导线内磁位是A1, 导线外磁位是A2， ra时 ， 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）可以求出导线内、 外的磁场分别为 导体外部的磁感应强度为 在r=a处B1=B2，有第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）3.5 磁 偶 极 子

12、概念磁偶极子：通电小圆环。定义磁偶极矩：第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）3.6 磁介质中的场方程 1. 磁化强度M 式中Pm是分子磁矩，求和对体积元V内的所有分子进行。磁化强度M的单位是A/m(安培/米)。定义第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）2. 磁化电流 图 3 -13 磁化介质的场 0=r-rdv场点Pr第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）全部磁介质在r处产生的磁矢位为 可以将上式改写为 *第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）等效磁化体电流：等效磁化面电流：1：如何理解“等效”？ 2：与极化电荷的区别？第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）图

13、3-14 磁化电流示意图 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）例 半径为a、高为L的磁化介质柱(如图 3 -15 所示)，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm和磁化面电流JmS。 图 3 15 例 3 - 7用图 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合， 磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时，M=M0ez，由式(3 -52)得磁化电流为 在界面z=0上，n=-ez, 在界面z=L上，n=ez， 在界面r=a上，n=er, 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）3. 磁场强度 在外磁场的

14、作用下，磁介质内部有磁化电流Jm。 磁化电流Jm和外加的电流J都产生磁场，这时应将真空中的安培环路定律修正为下面的形式： 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）令 其中H称为磁场强度，单位是A/m(安培/米)。于是有 与上式相应的微分形式是 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）4. 磁导率 实验得知，M与H间的关系为 式中m是一个无量纲常数，称为磁化率。非线性磁介质的磁化率与磁场强度有关，非均匀介质的磁化率是空间位置的函数， 各向异性介质的M和H的方向不在同一方向上。顺磁介质的m为正， 抗磁介质的m为负。这两类介质的m约为 10-5量级。第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节

15、）式中，r=1+m，是介质的相对磁导率，是一个无量纲数； =0r，是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为H/m(亨/米)。铁磁材料的B和H的关系是非线性的，并且B不是H的单值函数， 会出现磁滞现象，其磁化率m的变化范围很大，可以达到106量级。 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）5. 磁介质中恒定磁场基本方程 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）例 同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图 3 - 16 所示。设内、外导体分别流过反向的电流I， 两导体之间介质的磁导率为，求各区域的H、B、M。 同轴线示意图 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）解： 以后如无特别声明，对良导体(不包括铁等磁性物质)一般取其磁导率为0。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化， 该磁场只有分量，且其大小只是r的函数。分别在各区域使用介质中的安培环路定律C Hdl=S JdS，求出各区的磁场强度H， 然后由H求出B和M。当ra时， 电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培环路定律得 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）考虑这一区域的磁导率为0，可得 (r a) (r a) 当ac时，这一区域的B、H、M为零。 第三章 恒定电流的电场和磁场 (周学时3节）3.7 恒定磁场的边界条件 图 3-17 Bn的边