经济数学微积分映射与函数

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1、一、映射的概念第二节 映射与函数二、逆映射与复合映射三、函数的概念四、函数的基本性态五、小结 思考题一、映射的概念1.定义一：设X 与 Y 是两个非空集合，若对 X中的每一个元素 x，均可找到 Y 中唯一确定的元素 y 与之对应，则称这个对应是集合X 到集合Y 的一个映射，记为 f ，或者更详细地写将 x 的对应元 y 记作并称 y 为映射 f 下 x 的像，而 x 称为映射 f 下 y 的原像(或称为逆像). 集合 X 称为映射 f 的定义域，记作，而 X 的所有元素的像f (x) 的集合称为映射 f 的值域，记为例1 设 A=商场中的所有商品 ，B=商场中商品九月份的销量 ，则是一个映射，

2、例2 设 A=1，2，3 ，B=4，5，6，7 ，则是一个映射，有唯一确定的 y=f (x) 与之对应.概括起来，构成一个映射必须具备下列三 个基本要素：需要指出的是：（1）映射要求元素的像必须是唯一的.（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.(3) 对应法则 f :2.定义二： 设 f 是集合X 到集合Y 的一个映射，若 f 的逆像也是唯一的，即对X 中的任意两个不同元素 x1 x2 ，它们的像 y1 与 y2 也满足 y1 y2 ，则称 f 为单射； 如果映射 f 满足 Rf = Y ，则称 f 为满射； 如果映射 f 既是单射 ，又是满射，则称 f 为双射（又称一一对应 ）.二、逆映射与

3、复合映射1.逆映射： 如果映射 f 既是单射，又是满射，则逆映射，例3 设 A=1，2，3 ，B=4，5，6，则既是单射，又是满射，存在逆映射例4 设 A=0，B=1，1，则既是单射，又是满射，存在逆映射2.复合映射：那就可以构造出一个和新的对应关系复合映射.例5因此不能构成复合映射 但若将 g 的定义域缩小，就有可能构成复合映射.比如令则可以构成复合映射 因变量自变量三、函数的概念D 称为定义域，记作Df ，即 Df = D .函数值的全体构成的数集称为值域，记为 ：自变量因变量对应法则f2.函数的两要素:定义域与对应法则.约定: 定义域是使表达式有意义的自变量能取 的一切实数值.定义:如果

4、自变量在定义 域内任取一个数值时， 对应的函数值总是只有 一个，这种函数叫做单 值函数，否则叫做多值 函数是多值函数(1) 符号函数3.几个特殊的函数举例1-1xyo(2) 取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线显然:有理数点无理数点1 xyo(3) 狄利克雷函数(4) 取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例1解综上，有:例2解四、函数的几种特性1函数的奇偶性(parity):偶函数yxox-x奇函数yxox-x2函数的周期性(periodi

5、city):（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.例3解由条件知：故是周期函数，且是它的一个周期 .3函数的单调性(monotonicity):xyoxyoM-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX4函数的有界性(bounded):五、小结 思考题1.映射的有关概念： 映射、逆映射、复合映射.2.函数的有关概念： 函数、定义域、值域.3.函数的几种特性：奇偶性、周期性、单调性、有界性.思考题已知 是一个奇函数，且满足,则 是不是一个周期函数？若是，请说明 它的一个周期，若不是，请说明理由.思考题解答是.练 习 题2. 函数f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为A，函数y= 的定义域为

6、B，则AB=_ 1. 已知A=N， ，映射x ,则在 f 的作用下，像 的原像是_ 3. 下列函数中，既是（0， ）上的增函数，又是以 为周期的偶函数是（ ）A y=|sinx| B y=|cosx| C y=|sin2x| D y=cos2x 4. 函数 的单调递增区间是 _ .5. 已知函数 ，则 是：（A）奇函数 （B）既是奇函数又是偶函数（C）偶函数 （D）非奇非偶函数 练习题答案1. 50 2. -2，-1） 3. A 4. 5. A三、平稳性检验的图示判断 给出一个随机时间序列，首先可通过该序列 的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。 一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一 种围

7、绕其均值不断波动的过程。 而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段 具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。 进一步的判断:检验样本自相关函数及其图形定义随机时间序列的自相关函数（ autocorrelation function, ACF）如下：k=k/0 自相关函数是关于滞后期k的递减函数(Why?)。实际上,对一个随机过程只有一个实现（样 本），因此，只能计算样本自相关函数（Sample autocorrelation function）。 一个时间序列的样本自相关函数定义为：易知，随着k的增加，样本自相关函数下降且趋于零。但从下降速度来看，平稳序列 要比非平稳序列快得多。 注意:确定样本

8、自相关函数rk某一数值是否足够 接近于0是非常有用的，因为它可检验对应的自 相关函数k的真值是否为0的假设。Bartlett曾证明:如果时间序列由白噪声过 程生成，则对所有的k0，样本自相关系数近似 地服从以0为均值，1/n 为方差的正态分布，其 中n为样本数。也可检验对所有k0，自相关系数都为0的联 合假设，这可通过如下QLB统计量进行：该统计量近似地服从自由度为m的2分布 （m为滞后长度）。因此:如果计算的Q值大于显著性水平为 的临界值，则有1-的把握拒绝所有k(k0)同 时为0的假设。例9.1.3: 表9.1.1序列Random1是通过一 随机过程（随机函数）生成的有19个样本的随 机时

9、间序列。 容易验证：该样本序列的均值为0，方差为 0.0789。 从图形看：它在其样本均值0附近上下波动， 且样本自相关系数迅速下降到0，随后在0附近 波动且逐渐收敛于0。 由于该序列由一随机过程生成，可以认为不 存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。 根据Bartlett的理论：kN(0,1/19)，因此任一rk(k0)的95%的置信区间都将是: 可以看出:k0时，rk的值确实落在了该区间内 ，因此可以接受 k(k0)为0的假设。 同样地，从QLB统计量的计算值看，滞后17期 的计算值为26.38，未超过5%显著性水平的临界 值27.58，因此,可以接受所有的自相关系数 k(k0)都为0的假

10、设。 因此，该随机过程是一个平稳过程。 序列Random2是由一随机游走过程Xt=Xt-1+t生成的一随机游走时间序列样本。其中，第0项 取值为0， t是由Random1表示的白噪声。图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样 本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0， 但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。 样本自相关系数显示：r1=0.48，落在了区间- 0.4497, 0.4497之外，因此在5%的显著性水平 上拒绝1的真值为0的假设。该随机游走序列是非平稳的。例9.1.4 检验中国支出法GDP时间序列的平稳性。 表9.1.2 19782000年中国支出法GDP（单位：亿元） 图形

11、：表现出了一个持续上升的过程，可初 步判断是非平稳的。 样本自相关系数：缓慢下降，再次表明它的 非平稳性。 从滞后18期的QLB统计量看：QLB(18)=57.1828.86=20.05 拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后1期之后 的值全部为0的假设。结论:19782000年间中国GDP时间序列是非平稳序列。例9.1.5 检验2.10中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。原图 样本自相关图 从图形上看：人均居民消费（CPC）与人均国 内生产总值（GDPPC）是非平稳的。 从滞后14期的QLB统计量看：CPC与GDPPC序列的 统计量计算值均为57.18，超过了显著性水平为

12、5%时的临界值23.68。再次表明它们的非平稳性 。 就此来说，运用传统的回归方法建立它们的 回归方程是无实际意义的。 不过，9.3中将看到，如果两个非平稳时间序列是协整的，则传统的回归结果却是有意义 的，而这两时间序列恰是协整的。 四、平稳性的单位根检验（unit root test）1、DF检验 随机游走序列:Xt=Xt-1+t是非平稳的，其中t是白噪声。而该序列可看成 是随机模型:Xt=Xt-1+t中参数=1时的情形。（*）式可变形式成差分形式：Xt=(1-)Xt-1+ t=Xt-1+ t (*)检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（* ）式判断是否有 =0。对式：Xt=Xt-1+t

13、 （*） 进行回归，如果确实发现=1，就说随机变量Xt有一个单位根。一般地: 检验一个时间序列Xt的平稳性，可通过检验 带有截距项的一阶自回归模型：Xt=+Xt-1+t （*）中的参数是否小于1。或者：检验其等价变形式：Xt=+Xt-1+t （*）中的参数是否小于0 。在第二节中将证明，（*）式中的参数1或=1时，时间序列是非平稳的;对应于（*）式，则是0或 =0。 因此，针对式： Xt=+Xt-1+t 我们关心的检验为：零假设 H0：=0。备择假设 H1：临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。 时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值，因此不能拒绝不存在趋势项的零假设 。需进一步检验模型2 。