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1、线性代数数学专业教研室 数理楼224B第一章 行列式 行列式的定义与性质 行列式展开定理 克莱姆法则用消元法解二元线性方程组1.1.1二阶、三阶行列式1.1 行列式的定义与性质一、二阶行列式方程组的解为由方程组的四 个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义即主对角线副对角线对角线法则1.二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式当 时，则二元线性方程组的解为例1解二、三阶行列式 定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.(1)沙路法1.三阶行列式的计算.列标 行标主对角线副对角线(2)对角线法则说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式说明2 三阶行列式包括
2、3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.例2解按对角线法则，有1.1.2全排列及其逆序数引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？解1 2 3123百位3种放法十位1231个位12 32种放法1种放法种放法.共有问题定义1 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个 元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常 用 表示.由引例同理一、全排列定义2 在一个排列 中，若 个元素的先后次序与标准次序不同即数 则称这两个数组成一个逆序.例如排列32514 中， 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小
3、到大为标准次序.二、排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序定义3 一个排列中所有逆序的总数称为此排列 的逆序数.例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4逆序数为31故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.1.排列的奇偶性3 2 5 1 4于是排列32514的逆序数为分别计算出排列中每个元素前面比它大的数的 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.例1 求排列32514的逆序数 .2.计算排列逆序数的方法例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.解此排列为偶排列.解当
4、 时为偶排列；当 时为奇排列.解当 为偶数时，排列为偶排列，当 为奇数时，排列为奇排列.一、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换例如1.1.3对换二、对换与排列的奇偶性的关系定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性证明设排列为对换 与除 外，其它元素的逆序数不改变.当 时， 的逆序数不变;经对换后 的逆序数增加1 ,当 时， 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1.（1）相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.因此对换相邻两个元素，排列改变奇
5、偶性.(2)设排列为推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.一、概念的引入三阶行列式展开式中的一般项可以写成行标排成标准次序1231.1.4 n阶行列式列标 是1，2，3的某个排列列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列例如 :二、n阶行列式的定义定义1例1 计算一阶行列式|a|说明1、行列式是一种特定的算式;3、 阶行列式是 项的代数和;2、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 个元素的乘积;4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;5、 的符号为对于D中任意一项用乘法的交换律可以换成定义2 阶行列式也可定义为由定理1的推论其中s为行标排列
6、的逆序数.例2 计算对角行列式分析展开式中项的一般形式是所以 只能等于 , 同理可得解从而 不为零，即行列式中不为零的项为分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解例3 计算上三角行列式例4同理可得下三角行列式例5 证明对角行列式证明第一式是显然的,下面证第二式.若记则依行列式定义例6 已知解含 的项有两项,即对应于1.1.5行列式的性质行列式 称为行列式 的转置行列式. 记例如：证明按定义性质1.1 行列式与它的转置行列式相等.说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质1.2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明设行列式于是则有当 时,当
7、 时,例如推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.证明互换相同的两行，有 故性质1.3 行列式的某一行（列）中所有的元素 都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面问题： （1）如果行列式的所有行（或列）中所有元素的 共同公因子k提到行列式符号的外面，会如何？ （2）如果行列式的所有行（或列）中所有元素都 乘以数k得到的行列式与原行列式的关系如何？性质1. 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零证明性质1.5 若行列式的某一列（行）的元素都是 两数之和.则D等于下列两个行列式之和：性质1.6 把行列
8、式的某一列（行）的各元素乘 以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去， 行列式不变例如计算行列式常用方法：利用运算 把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值例例2 计算 阶行列式解将第 列都加到第一列得例3证明证明一、余子式与代数余子式1.2 行列式展开定理与克莱姆法则 1.2.1行列式展开定理在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作例1叫做元素 的代数余子式例2引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有 元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的 代数余子式的乘积，即 例如二、行列式的展开定理证明(1)当 位于第一行第一列时,(2
9、)一般情形,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即证明例1证用数学归纳法例2证明范德蒙德( Vandermonde )行列式n-1阶范德蒙德行列式推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列 ）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证同理相同关于代数余子式的重要性质例 计算行列式解按第一行展开，得例 计算行列式解例5求第一行各元素的代数余子式之和解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成设线性方程组则称此方程组为非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.一、非齐次与齐次线性方程组的概念1.2.2克莱姆法则二、克拉姆法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，
10、即那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端 的常数项代替后所得到的 阶行列式，即证明在把 个方程依次相加，得由代数余子式的性质可知,于是当 时,方程组 有唯一的一个解由于方程组 与方程组 等价,故也是方程组的 解.例1 用克拉默则解方程组解定理4 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 .定理5 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.齐次线性方程组的相关定理定理4 如果齐次线性方程组 的系数行列 式 则齐次线性方程组 没有非零解.定理5 如果齐次线性方程组 有非零解， 则它的系数行列式必为零.有非零解.系数行列式例2 问 取何值时，齐次方程组有非零解？ 解齐次方程组有非零解，则所以 或 时齐次方程组有非零解.
