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1、量子力学初步本章内容Contentschapter 23波函数及其统计解释wave function and its statistical explanation 薛定谔方程 Schrodinger equation隧道效应 tunnel effect 不确定关系 uncertainty relation第一节wave function and its statistical explanation2 3 - 1引言量子力学是描述微观粒子运动规律 的学科。它是现代物理学的理论支柱 之一，被广泛地应用于化学、生物学、电子学及高新技术等许多领域 。本章主要介绍量子力学的基本概念及 原理，并通过几
2、个具体事例的讨论来说明量子力学处理问题的一般方法。波函数回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设速度为质量为的自由粒子一方面可用 能量 和 动量 来描述它的粒子性另一方面可用 频率 和 波长 来描述它的波动性波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道 了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。下面从量子力学的基本观点出发，建立自由粒子的波函数。自由粒子波函数在量子力学中用复数表达式 ：应用欧拉公式取实部应用德布罗意公式即即即的自由粒子的波函数为沿 X方向匀 速直线运动在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波
3、动方程沿 方向匀 速直线运动的自由粒子的波函数为续上在量子力学中用复数表达式 ：应用欧拉公式取实部应用德布罗意公式即即即沿 方向匀 速直线运动的自由粒子的波函数为的自由粒子的波函数为沿 X方向匀 速直线运动在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程自由粒子的 波函数自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布 罗意波是平面波 。不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波 。对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同。微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是 量子力
4、学的一个基本假设。概率密度设描述粒子运动状态的波函数 为 ，则空间某处波的强度与在该处 发现粒子的概率成正比； 在该处单位体积内发现粒子 的概率（概率密度） 与 的模的平方成正比。是的共轭复数德布罗意波又称 概率波波函数又称 概率幅取比例系数为1，即1926 年提出了对 波函数的统计解释波函数归一化因概率密度故在 矢端的体积元 内发现粒子的概率为在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。此条件称为 波函数的归一化条件满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件 ：概率波与经典波德布罗意波（概率波）不同于
5、 经典波（如机械波、电磁波 ） 德布罗意波经 典 波是振动状态的传播不代表任何物理量的传播波强（振幅的平方）代表 通过某点的能流密度波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间 各点波强的比例，并非取 决于波强的绝对值。能流密度分布取决于空 间各点的波强的绝对值 。因此，将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C倍，不影响粒子 的概率密度分布，即 和C 所 描述德布罗意波的状态相同。因此，将波函数在空间 各点的振幅同时增大 C倍， 则个处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度 分布状态。波函数存在归一化问题 。波动方程无归一化问题 。波函数存在归一化问题 。波函数标准
6、条件波函数的三个标准条件：连续因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续； 单值因任一体积元内出现的概率只有一种，故 波函数一定是单值的；有限因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限的；以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件符合不符合不符合不符合算例某粒子的 波函数为归一化波函数概率密度概率密度最大的位置令求积分得 ：得 到 归 一 化 波 函 数 ：概率密度得令求极大值的 x 坐标解得另外两个解处题设处最大随堂小议结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案下列波函数中合理的是（1） ；（2） ； （3） ；（4）小议链接1结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答
7、案下列波函数中合理的是（1） ；（2） ； （3） ；（4）小议链接2结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案下列波函数中合理的是（1） ；（2） ； （3） ；（4）小议链接3结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案下列波函数中合理的是（1） ；（2） ； （3） ；（4）小议链接4结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案下列波函数中合理的是（1） ；（2） ； （3） ；（4）第二节Schrodinger equation2 3 - 2薛定谔方程引言经典力学牛顿力学方程根据初始条件可求出经典质点的运动状态经典质点有运动轨道概念不考虑物质的波粒二象性量子力学针对物质的波粒二象性 微观粒
8、子无运动轨道概念运动状态波函数量子力学方程是否存在一个根据某种条件可求出微观粒子的基本算符 量子力学中的 算符是表示对某一函数进行某种数学运算的 符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符 来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。算 符劈形算符数学运 算符号拉普拉 斯算符动量算符动能算符哈密顿算符 含动、势能位矢算符力 学 量 算 符 统称 举 例若 作用在某函数 上的效果和 与某一常量 的乘积相当，即 则称为 的 本征值 称为 的 本征函数 所描述的状态称为 本征态 力学量的可能值是它的本征值 力学量的平均值由下述积分求出薛定谔方程1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程
9、获1933年诺贝尔物理学奖当其运动速度远小于光速时它的波函数 所满足的方程为质量为 的粒子 在势能函数为 的势场中运动它反映微观粒子运动状态随时间变化 的力学规律，又称含时薛定谔方程。式中， 为哈密顿算符 ，可分离变量，写成解释：若则积分解得将常量 归入 中，得定态波函数此外，对得 定态薛定谔方程故常量时间的函数空间的函数由对应一个可能 态有一常量定态薛定谔方程势场只是空间函数 即若粒子所在的有一个能量定值含时薛定谔方程定态 波函数对应于一个可能态，则定态薛定谔方程其概率密度与时间无关所描述的状态。它的重要特点是 ：所谓“定态”，就是波函数具有 形式定态波函数中的 称为 振幅函数（有时直称 为
10、波函数）。的函数形式也应满足统计的条件连续、单值、有限的标准条件 ；归一化条件 ；对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。若已知势能函数 ，应用定态薛定谔方程可求解出 ，并得到定态波函数续上态跌加原理为薛定谔方程的两个解，分别代表体系的两个可能状态 。设为它们的线性叠加即为复常数将上式两边对时间求偏导数并乘以因都满足薛定谔方程即这表明：体系两个可能状态的叠加仍为体系的一个可能态 。称为 态叠加原理一维无限深势阱粒子在某力场中运动，若力场的势函数 U 具有下述形式该势能函数称作一维无限深势阱 。应用定态薛定谔方程可求出运动
11、粒微观系统中，有关概率密度、能量这是一个理想化的物理模型，子的波函数，有助于进一步理解在量子化等概念 。续上求解阱内阱外只有因及要连续、有限， 薛定谔方程才成立 ，在阱外 故粒子在无限深势阱外出现的概率为零。设质量为 的微观粒子， 处在一维无限深势阱中 ， 该势阱的势能函数为阱外阱内建立定态薛定谔方程一维问题续上求解求定态薛定谔方程的通解 阱内即令得此微分方程的通解为其三角函数表达形式为式中 和 为待定常数根据标准条件确定常数 和并求能量 的可能取值以及在边界 和处又因得的取值应与阱外 连续，边界处的故得及时阱内 不合理 舍去 的负值和正值概率密度相同 。同一取得续求解求归一化定态波函数由上述
12、结果阱外阱内及得应满足归一化条件得积分归一化定态波函数概率密度势阱问题小结能量量子化极不明显，可视为经典连续。间距太小在微观粒子可能取如，电子9.110 31 kg处在宽度 10 - 10 m ( 原子线度)的势阱中算得 37.7 eV能量量子化明显 处在宽度 10 2 m ( 宏观尺度)的势阱中算得 37.7 10 -15 eV 能量量子化是微观世界的固有现象从能级绝对间隔看，从能级相对间隔看，则的各种能态中，随着 值增大，逐渐向经典过渡 。一维无限深势阱中的微观粒子 （小结）能量 量子化称 基态能 或 零点能相邻能级的能量间隔波函数好比驻波概率密度的 称节点位置 极大的 称最概然位置增大,
13、节点数增多,最概然位 置间隔变小。 很大，概率 密度趋近经典均匀分布 。势垒粒子在某力场中运动，若力场的势函数 U 具有下述形式该势能函数称作一维矩形势垒。按经典力学观点，在量子力学中 ，能量 的粒子不可能穿越势垒 。后才能下结论。应求解定态薛定谔方程23-3隧道效应区区区式中得上述微分方程的解为设：一矩形势垒的 势能函数 在势函数定义的全部空间粒子的波函数都应满足薛定谔方程一质量为 、能量为的粒子 由 区向势垒运动续上区区区入射波反射波 透射波区无反射 ，入入射波反反射波透透射波根据边界条件 和 处和必须连续，可求方程中各系数的关系 。 透射粒子数入射粒子数透射系数透入为描述粒子透 过势垒的
14、概率引入为原设为势垒宽度估算表明可见，粒子能穿过比其能量更高的势垒， 这种现象称为 势垒贯穿 亦称 隧道效应。这是微观粒子波动性的表现。隧道效应已被许多实验所证实，并在半导体器件、超导器件、物质表 面探测等现代科技领域中有着重要的应用。扫描隧道显微镜两金属的平均逸出电势垒高度金属1金属2逸出电势垒高金属1逸出电势垒高金属2金属中的电子由于隧道效应有可能 穿越比其能量更高的表面势垒（逸出电 势垒）而逸出金属表面，在金属外表面 附近形成电子云，电子云的分布形式与 金属晶体的结构和表面性质有关。若两块金属表面相距 很近，至使表 面的电子云发生相互重叠，此时若在两 金属间加一微弱电压 （操作电压）， 则会有微弱的电流 （隧道电流） 从 一金属流向另一金属，并可表示为实验表明， 只要改变 0.1 n m(原子直径线度）
