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1、北京科技大学系统与控制中的矩阵 理论北京科技大学自动化学院北京科技大学自动化系统与控制中的矩阵理论 程云鹏等. 矩阵论第3版. 西北工业大学出版社，2006. 黄琳. 系统与控制理论中的线性代数.科学出版社，1984 须田信英等.自动控制中的矩阵理论. 科学出版社，1979. 张绍飞等.矩阵论教程.机械工业出版社，2010 杨明、刘先忠 . 矩阵论 华中科技大学出版社，2005 何希勤 、张大庆.控制理论与控制工程中的矩阵分析基础. 科学出版社，2010. 俞立. 鲁棒控制: 线性矩阵不等式处理方法.清华大学出版 社，2002. Stephen Boyd. Linear matrix ineq
2、ualities in system and control Theory. SIAM studies in applied mathematics，1994.北京科技大学自动化总学时： 32 学分：2 先修课程: 高等数学、线性代数、现代控制理论 教学目的:矩阵理论是系统与控制科学的数学基础之一 ，本课程主要介绍系统与控制学科中用到的矩阵理论 ，包括线性空间与线性变换、-矩阵与Jordan 标准型、矩阵分解、特征值估计与矩阵方程、 矩阵范数、矩阵分析、线性矩阵不等式等，为从 事系统和控制科学的各专业领域的教学和科研奠定良 好的基础。 考核方式：闭卷考试（100%） 教师：刘冀伟（1-4）、丁
3、大伟（5-7）系统与控制中的矩阵理论北京科技大学第一章 线性空间与线性变换2012年11月4日北京科技大学自动化本章的主要内容 线性空间 1.1 线性空间的定义与性质 1.2 线性空间的基与坐标 1.3 线性子空间 1.4 线性空间的同构 线性变换 1.5 线性映射与线性变换 1.6 线性变换的值域与核 1.7 不变子空间 1.8 特征值与特征向量 内积空间与酉空间 1.9内积空间与酉空间北京科技大学自动化1.1线性空间的定义与性质 数轴数轴 平面平面 几何空间和几何空间和 n n 维向量空间维向量空间 多项式集合多项式集合 线性微分方程的线性微分方程的解集合解集合 线性空间线性空间 推广思想
4、：推广思想：抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的 集合上定义具有线性运算的代数结构和集合上定义具有线性运算的代数结构和几何结构几何结构。0 空间为体，矩阵为用北京科技大学自动化1.1线性空间的定义与性质定义 1.1.1设 V是一个非空集合，它 的元素用 x,y,z 等表示,并称之为 向量.K 是一个数域,它的元素用 k,l,m等表示. 如果 V满足下列条 件; 1. 在V中定义一个加法运算,即当 x,yV 时,有唯一的和x+y V , 且加法运算满足下列性质 结合律 (x+y)+z= x+(y+z); 交换律x+y=y+x; 存在零元素 0, 使得x+0
5、=x; 存在负元素,即对任一向量 xV,存在yV使得x+y=02. 在 V中定义数乘(数与向量 的乘法)运算,即当 xV, kK时,有唯一的kxV, 且数乘运算满足下列性质 数因子分配律 k(x+y)=kx+ky; 分配律(k+l)x=kx+lx; 结合律k(lx)=(kl)x; 1x=x. 则称V为数域 K上的线性空 间.北京科技大学自动化例： 数域R上的mn矩阵，按矩阵加法和矩阵与数的 数量乘法构成数域R上的一个线性空间，用Rmn 表示。 全体实函数，按函数的加法和数与函数的数量乘 法，构成一个实数域上的线性空间。 线性空间的简单性质 零元素是唯一的； 负元素是唯一的； 0x=0;k0=0
6、;(-1)x=-x； 如果kx=0,那么k=0或x=0。1.1线性空间的定义与性质北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标定义1.2.1设V是数域K上的一个线性空间， 是 V中的一组向量， 是数域K中的数，那么向 量 称为向量 的一 个线性组合，有时也称向量 可以由 线 性表出。 定义1.2.2设V是数域K上的一个线性空间， 和 是V上的两个向量组，如果（1）中的 任一向量都可由向量组（2）表出，则称向量组（1） 可由向量组（2）线性表出。如果向量组（1）和（2 ）可以互相线性表出，则称向量组（1）和（2）是等 价的。一、维数与坐标北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标定义1.2.3 线
7、性空间V中的一组向量 称 为线性相关的，如果在数域K中存在r个不全为零的数 ， 使得 。如果向量 组 不线性相关，就称为线性无关。北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标定义1. 2.4 如果线性空间V中有n个线性无关的向量，但 没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为是n维 的表示为：dimV=n。如果在V中可以找到任意多个 线性无关的向量，那么V就称为无限维的。北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标定义1.2.5 n维线性空间V中，n个线性无关向量称为V的一组基。V中的任一向量，则可以由这 组基线性表出，即 其中 被唯一确定的，这组数就称为在基 下的坐标，记为 。定理1.2.1若线
8、性空间V中有n个线性无关向量 且V中任意向量都可以用它线性表出，那么V是n维的 ，而且 就是V的一组基。北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标对任意给定的n+1个向量 其均可由向 量组 线性表出，若其线性无关则有 n+1n，矛盾！命题得证。证明：因为 线性无关的向量,所以dimVn 要证明V是n维的，只要证明任意n+1个向量必定线性相 关。 北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标 北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标二、坐标变换 设 和 都是n维线性空间V的基 ， 并且： V，在两组基下的坐标分别为：在不同基下坐标间的关系？北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标两个基间的过渡
9、矩阵A：A是可逆矩阵；detE=detE*detA北京科技大学自动化1.2线性空间的基与坐标北京科技大学自动化1.3线性子空间一、定义与性质 定义1.3.1 数域K上线性空间V的一个非空子集W称为V 的线性子空间，如果W对于V的两种运算也构成数域 K上的线性空间。 分类：平凡子空间V和；非平凡子空间。 定理1.3.1 如果线性空间V的非空子集W对于V的两种运 算是封闭的，那么W是V的一个子空间。 例：线性空间Rn中的齐次线性方程组Ax=0的全部解向 量组成一个子空间，这个子空间称作齐次方程组的解 空间，解空间的基就是方程组的基础解系，其维数为 n-r，其中r=rankA，n为x的维数。北京科技
10、大学自动化1.3线性子空间定义1.3.2 设 是数域K上线性空间V中的一组 向量，则这组向量所有可能的线性组合所组成的集合 记为 。 定理1.3.2 是线性空间V的一个子空 间，称为由向量组生成的子空间。 定理1.3.3 两个不同向量组生成相同线性子空间的充要 条件是两个向量组是等价的。并且子空间的维数是向 量组的秩。 证明： 生成相同线性子空间两向量组是等价的 设 两个向量组，如果北京科技大学自动化1.3线性子空间所以两组向量等价 两组向量等价反之亦然，命题成立北京科技大学自动化1.3线性子空间定理1.3.4 设W是数域K上n维线性空间V的一个m维子空 ， 是W的一组基，那么这组向量必定可以
11、 扩展为整个空间V的基。（基的扩展定理） 证明： 对维数差n-m作归纳n-m=0，命题成立； 设n-m=k，命题成立；证明n-m=k+1时命题成立；设 线性无关，但不是V的一组基，则存在 与向量组设向量组等价，的秩为s，而是他的 一个极大线性无关组，所以与由定理1.2.1，北京科技大学自动化1.3线性子空间定理1.3.5 V1、V2是线性空间V的两个线性子空间，则它们的交集V1V2也是V的线性子空间。使得的维数为m+1，因为n-(m+1)=k 由归纳假设知对 是线性空间V的一组基。存在线性无关，所以也线性无关，由定理1.3.3二、子空间的交与和定义1.3.3 设V1、V2是线性空间V的两个线性
12、子空间，它 们的和V1+V2=1+2| 1 V1，2V2 定理1.3.6 V1、V2是线性空间V的两个线性子空间，则它们的和V1+V2也是V的线性子空间。北京科技大学自动化1.3线性子空间定理1.3.7 V1、V2是线性空间V的两个线性子空间，则dimV1+dimV2-dim(V1V2)=dim(V1+V2) 证明： 设dimV1=n1，dimV2=n2，dim(V1V2)=m取V1V2的基 ，由定理1.3.4可扩展出V1和V2 的基 和 证明 是V1+V2的基北京科技大学自动化1.3线性子空间三、子空间的直和 定义1.3.4设V1、V2是线性空间V的两个线性子空间，它 们的和V1+V2=中的元素的分解是 =1 +2中的1 和2 是唯一的，这个和称为直和，记为V1 V2。 定理1.3.8 V1+V2是直和的充要条件是：等式1+2 =0成立，只有1=0，并且2=0。其中：1 V1，2V2证明： V1+V2是直和，所以零向量的分解式唯一,成立充分性：设 V1+V2 ，并且有两个分解= 1+ 2=1+2其中1，1V1，2，2V2(1-1)+(2-2) =0，所以1=1，2=2所以分解式是唯一的。北京科技大学自动化1.3线性子空间定理1.3.9 V1+V2是直和的充要条件是： V1 V2=0，或
